Максимална височина на ракета

вместо бленувания теоретичен раздел

Модератори: mishaikin, bobo, Betelgeuse

Relinquishmentor
Мнения: 668
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 9

Максимална височина на ракета

Мнение от Relinquishmentor » ср ное 20, 2013 01:45

С колко гориво трябва да се зареди една ракета, така че при равномерно горене (скоростта на газовете спрямо ракетата е постоянна, а масата на горивото намалява линейно през времето) ракетата да достигне възможно най-голяма височина? Предполагаме, че ракетата се издига до малка височина, а съпротивлението на въздуха не се брои.

Потребителски аватар
sider
Мнения: 969
Регистриран: нед сеп 04, 2011 08:35
Репутация: 0
Местоположение: Смолян

Re: Максимална височина на ракета

Мнение от sider » ср ное 20, 2013 10:41

Хм, не че мога да реша задачата, ама ми се струва, че условието е непълно.
Не трябва ли да знаем поне масата на ракетата?
Meade SN8 F/4 LXD75 Canon 1000D

And it all started with simply looking up. Always look up, every chance you get. There’s a whole Universe out there waiting to be explored.
Phil Plait

Relinquishmentor
Мнения: 668
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 9

Re: Максимална височина на ракета

Мнение от Relinquishmentor » ср ное 20, 2013 11:55

Трябва, естествено - масата на празната ракета. Освен това трябва да се знае и скоростта на газовете спрямо ракетата (u) и разхода на гориво за 1 s (delta(m)/delta(t)).

Потребителски аватар
stalker
Мнения: 809
Регистриран: пет окт 05, 2007 22:35
Репутация: 6
Контакти:

Re: Максимална височина на ракета

Мнение от stalker » съб ное 23, 2013 17:10

Разглеждаме ракета с начална маса m0, която лети вертикално. Движението на ракетата може да се изрази като:
m*x'' = -Vизх*dm/dt - mg,
където Vизх е ефективната скорост на изходящите газове от ракетата, а dm/dt - разходът на гориво, който смятаме за постоянен. Скоростта на ракетата след изгаряне на горивото може да определим, като умножим по dt и интегрираме частите на това уравнение:
Изображение

Това, което получихме, представлява ракетното уравнение на Циолковски с отчитане на гравитационните загуби (приемаме g = const). Тук V1 е максималната скорост на ракетата, която се получава след изгарянето на горивото; m1 e крайната маса на ракетата (след изгаряне на горивото), а t1 e времето за изгаряне на горивото. То e равно на: t1 = (m0 - m1)/(dm/dt).
За да открием височината на ракетата, в момента, в който свършва горивото си, трябва да интегрираме още един път:
Изображение

След изгарянето на горивото си ракетата ще продължи да се издига, но този път равнозакъснително, като допълнителният път, който ще измине, е:
Изображение

Времето на закъснителнителното движение на ракетата се намира от V1 - gt = 0 и е: t = V1 /g, така че:
Изображение

Максималната височина на ракетата е сума от височината, която ракетата е достигнала в момента на изгаряне на горивото си (Н1), и разстоянието, което изминава по инерция след това (S): Нмакс = Н1 + S. Изразът е достатъчно тежък за анализ, но е ясно, че височината на ракетата ще е толкова по-голяма, колкото по-голяма е скоростта й в момента на пълно изгаряне на горивото (максималната скорост). А тази скорост нараства с увеличаване на масата на горивото и намаляване на масата на празната ракета m1. Колкото по-малка е масата на празната ракета, толкова повече логаритъмът в израза за скоростта на ракетата нараства по модул, докато гравитационните загуби клонят към m0/(dm/dt). Така че като цяло с намаляване на m1 скоростта на ракетата и достигнатата максимална височина се увеличават.

Потребителски аватар
tonygl
Мнения: 1164
Регистриран: ср сеп 14, 2011 21:50
Репутация: 228
Местоположение: София
Контакти:

Re: Максимална височина на ракета

Мнение от tonygl » съб ное 23, 2013 21:44

:neurosymptoms:

:er:

Е.. си м...та :D

Relinquishmentor
Мнения: 668
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 9

Re: Максимална височина на ракета

Мнение от Relinquishmentor » пон ное 25, 2013 23:22

stalker написа:...А тази скорост нараства с увеличаване на масата на горивото


Vinagi li narastva, kogato narastva i masata na gorivoto? Zavisimostta e posredstvom razlika ot dve rastyashti funkcii, nyama kak da e vyarno tova.

Потребителски аватар
stalker
Мнения: 809
Регистриран: пет окт 05, 2007 22:35
Репутация: 6
Контакти:

Re: Максимална височина на ракета

Мнение от stalker » вт ное 26, 2013 16:04

Така е. В крайна сметка, ако напълним ракетата с прекалено много гориво, тя изобщо няма да се отлепи. Затова ще трябва да се намери какъв е максимумът на функцията за височината. При условие че са известни всички параметри на ракетата без началната й маса, тази функция трябва да се диференцира спрямо неизвестната начална маса и полученото уравнение да се приравни на нула, като коренът на уравнението е максимум на функцията. Ако някой успее да се справи с това, печели уважението ми. Аз ще се измъча още при диференцирането, а и виждам, че ще се получи логаритмично уравнение, което не мога да реша.

По-интересното за мен е, че началната маса на ракетата, при която се постига максимална скорост, е различна от началната маса, при която се постига максимална височина. А понеже функцията, която описва скоростта, е по-проста, то тук вече мога да се включа и да открия при каква стойност на m0 се получава максимумът й. Ако някой се интересува, началната маса на ракетата за достигане на максимална скорост трябва да е: m0 = (Vизх*(dm/dt))/g

Relinquishmentor
Мнения: 668
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 9

Re: Максимална височина на ракета

Мнение от Relinquishmentor » ср ное 27, 2013 08:22

Az poluchavam, che pri maximalnata visochina sled pylnoto izgaryane na gorivoto se dostiga i maximalna krayna skorost, t.e. pylnata visochina v toya sluchai e nay-golyama i e otgovora koyto i ti si poluchil. Dovechera shte go preizchislya pak.

Relinquishmentor
Мнения: 668
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 9

Re: Максимална височина на ракета

Мнение от Relinquishmentor » ср ное 27, 2013 23:22

Dam, mislya,che nyama greska - maximalnata visochina sled izgaryaneto na gorivoto e pri nachalna masa na raketata u.k/g; pri sushtata masa se dostiga i maximalna krayna skorost. Znachi i maximalnata visochina na izdigane, dokato skorosta padne do nula e pri tazi nachalna masa.

:cool:

Relinquishmentor
Мнения: 668
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 9

Re: Максимална височина на ракета

Мнение от Relinquishmentor » чет ное 28, 2013 23:25

Nova zadacha.
Namerete traektoriyata na edna raketa, koyato se dviji blizo do zemnata povyrhnost (broim i vyzdushnoto protivenie).

Отговори