Колко е максималното отклонение ?

вместо бленувания теоретичен раздел

Модератори: mishaikin, bobo, Betelgeuse

Relinquishmentor
Мнения: 643
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 0

Колко е максималното отклонение ?

Мнение от Relinquishmentor » ср сеп 14, 2011 19:10

Айде да взема да живна и аз малко тоя раздел с 2 задачки, които бях измислил още лятоска и ги бях пуснал в един друг форум, но там останаха нерешени:

Три топчета с еднакви маси m са свързани с 2 пружини, всяка с коеф. на ел. k ей така *~*~*. На най-дясното топче започва да действа постоянна сила F, насочена надясно. Намерете с колко най-много ще се удължи разстоянието между първото и последното топче.

Другата ще я сложа в темата за флуидите.

Потребителски аватар
stalker
Мнения: 808
Регистриран: пет окт 05, 2007 22:35
Репутация: 1
Контакти:

Мнение от stalker » ср сеп 21, 2011 21:56

Описаната система е сложна - тя се състои от три, свързани с пружини, тела. Това ще рече, че системата има три степени на свобода и за да опишем движението й ще са ни необходими три диференциални уравнения за всяко от телата. Принципно това се прави най-лесно по метода на Лагранж, но понеже описания случай не кой знае колко засукан, можем да приложим и традиционния подход, изобразявайки силите с вектори, както е на картинката. Предварително правим уговорката, че пренебрегваме триенето и масите на пружините.

Изображение

За първото тяло имаме:

mx”<sub>1</sub> = F – k [(x<sub>1</sub> - х<sub>2</sub>) – l]

За второто тяло:

mx”<sub>2</sub> = k [(x<sub>1</sub> - х<sub>2</sub>) – l] – k [(x<sub>2</sub> - х<sub>3</sub>) – l]

За третото тяло:

mx”<sub>3</sub> = k [(x<sub>2</sub> - х<sub>3</sub>) – l],

където k [(x<sub>n</sub> - х<sub>n+1</sub>) – l] e силата на еластичност по закона на Хук Fe =- kx, а l – свободната дължина на пружината.

Под действие на силата F системата започва да се движи, пружините да се разтягат и се стига до момент, в който пружините спират да се разтягат, а трите тела придобиват еднаква скорост и ускорение. Освен това двете пружини също са разтегнати еднакво.

Следователно: mx”<sub>1</sub> = mx”<sub>2</sub> = mx”<sub>3</sub>, от което изразяваме:
2*k [(x<sub>2</sub> - х<sub>3</sub>) – l] = k [(x<sub>1</sub> - х<sub>2</sub>) – l] (от 2-то и 3-то у-ние) и F – k [(x<sub>1</sub> - х<sub>2</sub>) – l] = k [(x<sub>1</sub> - х<sub>2</sub>) – l ] - ( k [(x<sub>1</sub> - х<sub>2</sub>))/2 = ( k [(x<sub>1</sub> - х<sub>2</sub>))/2 (от 1-то и 2-то у-ние).

Ние искаме да знаем разстоянието x<sub>1</sub> - х<sub>2</sub>, което излиза, че е:

x<sub>1</sub> - х<sub>2</sub> = [(2*F)/(3*k)]+l

Търсеното разстояние е двойно по-голямо т.е. R = [(4*F)/(3*k)]+2l.
Дано да не съм се оплел нещо.

Relinquishmentor
Мнения: 643
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 0

Мнение от Relinquishmentor » ср сеп 21, 2011 22:15

stalker написа:Под действие на силата F системата започва да се движи, пружините да се разтягат и се стига до момент, в който пружините спират да се разтягат, а трите тела придобиват еднаква скорост и ускорение.
А това защо?
А пък ако е вярно, след колко време става?

Потребителски аватар
stalker
Мнения: 808
Регистриран: пет окт 05, 2007 22:35
Репутация: 1
Контакти:

Мнение от stalker » чет сеп 22, 2011 11:36

Ами ако предположим, че телата през цялото време имат различни ускорения, то това ще рече че разстоянието между тях непрекъснато ще се увеличава и пружините ще се разтягат до безкрайност, което ми се струва неприемливо. Ти как си ги представяш нещата? Трябва да помисля за търсеното време, но не знам дали ще се справя.

Relinquishmentor
Мнения: 643
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 0

Мнение от Relinquishmentor » чет сеп 22, 2011 12:33

Не, просто всяко топче че извършва (хармонично) трептене и пружините ту ще се разтягат, ту ще се свиват. Поне такива са ми отдавнашните спомени, но и простата логика води до това заключение :)

Потребителски аватар
stalker
Мнения: 808
Регистриран: пет окт 05, 2007 22:35
Репутация: 1
Контакти:

Мнение от stalker » нед сеп 25, 2011 17:59

Това, което казваш за осцилациите, според мен ще се случи, когато системата започне да се движи равномерно и праволинейно или когато спре - с две думи, когато силата F спре да действа. Но не мога да се обосновя и съдя на база опит (демек може и да се заблуждавам).

А виждам, че по-горе съм написал и една глупост, като твърдя, че удължението на двете пружини е еднакво. От второто и третето уравнение на движението на системата се вижда, че Fел1 = 2Feл2 и за x<sub>2</sub> - х<sub>3</sub> се получава - x<sub>2</sub> - х<sub>3</sub> = (F*k/3)+l и търсеното разстояние се получава - (F*k)+2l. Наситина - логично е първата пружина, която тегли две тежести да се опъне повече от тази, която тегли една.

Relinquishmentor
Мнения: 643
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 0

Мнение от Relinquishmentor » нед сеп 25, 2011 19:19

stalker, припомни си пружинното махало. Тука работата е почти същата, само дето е малко усложнена :)

Relinquishmentor
Мнения: 643
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 0

Мнение от Relinquishmentor » пет сеп 30, 2011 15:48

Eто как ще изглеждат нещата за по-простия случай с две топки:
Както си показал и ти, уравненията им ще са:
Изображение
Изображение
Нас ни интересува да намерим разликата x<sub>1</sub> - x<sub>2</sub>. Значи вадим второто от първото и получаваме:
Изображение
Да означим x<sub>1</sub> - x<sub>2</sub> = x. Уравнението става:
Изображение
Началните условия са
Изображение
Решението се намира лесно
Изображение
Значи наистина разстоянието между двете топчета не става постоянно в някакъв момент, а се изменя по хармоничен закон. Максималната стойност на това разстояние е Изображение , а максималното удължаване, което търсим - Изображение

По същия начин, но малко по-сложно, става и за случая с три тела. И за четири също става, но трябва да се използват някои нечестни средства :) . И за n тела също може да се обобщи с тези средства, ама техническата страна става малко тегава.

Потребителски аватар
stalker
Мнения: 808
Регистриран: пет окт 05, 2007 22:35
Репутация: 1
Контакти:

Мнение от stalker » пет сеп 30, 2011 21:39

Мерси за решението на по-простия случай, Relinquishmentor. Между другото и аз почнах от него и по моя начин изкарах същия отговор :lol: . Трудно ми е да си представя това хармонично трептение, но така или иначе никога не съм бил на ти с махалата - било то пружинни или математични. Това обаче ме подтикна да се разровя в пожълтелите си записки по динамика и се натъкнах на една задача. В нея имаме една тръба, която се върти в хоризонтална равнина с ъглова скорост ω около единия си край, в който е закачена пружина, на която пък е закачена тежест. В решението се казва, че пружината ще трепти до някаква стойност на ω, но ако ω се увеличава след преминаването на гранична стойност тя ще престане да трепти. Та мисълта ми е защо това е така (щото не съм си записал :) ) - нали и в този случай имаме само две сили - еластична и центробежна?

Relinquishmentor
Мнения: 643
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 0

Мнение от Relinquishmentor » пет сеп 30, 2011 21:48

Не я разбрах добре тая задача :) Може ли чертеж?

Потребителски аватар
stalker
Мнения: 808
Регистриран: пет окт 05, 2007 22:35
Репутация: 1
Контакти:

Мнение от stalker » пет сеп 30, 2011 22:08

OK.

Изображение

Relinquishmentor
Мнения: 643
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 0

Мнение от Relinquishmentor » пет сеп 30, 2011 22:36

Сега е ясно, мерси.
А защо трепти тая пружина :question: Трябва да е даден закона, по който тръбата достига дадената ъглова скорост, за да знаем какво е трептенето. Това ли е дадено само?


П.П. Май зацепих за какво става на въпрос:) . Значи разглеждаме каквото и да е трептене, предизвикано някак си и трябва да докажем, че след определена ъглова скорост няма да може да продължи. Това ще стане, когато центробежната сила надделее над силата на еластичността, т.е. mω<sup>2</sup>r ≥ k(r - l) или (mω<sup>2</sup> - k)r≥ -kl
Тука трябва да се разгледат 3 случая: 1)mω<sup>2</sup> - k>0
Тогава имаме r ≥ -kl(mω<sup>2</sup> - k) . понеже дясната страна е отр., това е вярно за всяко r. Значи в тоя случай трептенето винаги ще се гаси, защото няма връщаща сила, която да го поддържа.
2)mω<sup>2</sup> - k = 0. Получава се 0≥ -kl, което пак е вярно за всяко r. Значи същото като горното.
3)mω<sup>2</sup> - k<0 . Получава се l<r<kl/(k - mω<sup>2</sup>). Значи ако тялото не е в тоя интервал, ще има връщаща сила и може да има трептене. Ако пък е там, центробежната (или еластичната, ако е преди l) сила ще го изхвърли докъдето еластичната й сила надделее и пак може да стане някакво трептене.
stalker написа:Та мисълта ми е защо това е така (щото не съм си записал :) ) - нали и в този случай имаме само две сили - еластична и центробежна?
Така е, защото центробежната сила зависи от разстоянието - например ако тялото се премести надясно, еластичната сила ще се увеличи и ще се опита да го върне, но и центробежната ще се увеличи и ако тя е по-силна, няма да даде на тялото да се върне обратно, а ще го тегли все надясно, докато не скъса пружината. А при случая с трупчетата външната сила не се мени и затова може да опъне пружината до едно определено разстояние, след което тя почва да се скъсява, докато не стигне пак първоначалната си дължина (в тоя случай пружината не се свива, както показва уравнението горе), после лявото топче пак изостава и пружината се разтяга, докато не стигне максимума, след това пак се свива и лявото топче тръгва да гони дясното и така :)

Потребителски аватар
stalker
Мнения: 808
Регистриран: пет окт 05, 2007 22:35
Репутация: 1
Контакти:

Мнение от stalker » съб окт 01, 2011 19:00

Благодаря за поясненията. Звучи просто, когато ти го кажат :)

Отговори
  • Подобни теми
    Отговори
    Преглеждания
    Последно мнение
  • Въпрос за максималното полезно увеличение
    от SuperVas220 » ср фев 18, 2015 21:36 » в Астрономическа техника
    25 Отговори
    1843 Преглеждания
    Последно мнение от SuperVas220
    съб юли 09, 2016 20:54
  • Къде и колко е тъмно небето
    от cosmicbeat » вт юли 12, 2016 17:38 » в Астрофотография
    5 Отговори
    1310 Преглеждания
    Последно мнение от bobo
    съб юли 30, 2016 15:39