Задачи от международна олимпиада по астрономия (на бг)

вместо бленувания теоретичен раздел

Модератори: mishaikin, bobo, Betelgeuse

Потребителски аватар
stalker
Мнения: 809
Регистриран: пет окт 05, 2007 22:35
Репутация: 6
Контакти:

Задачи от международна олимпиада по астрономия (на бг)

Мнение от stalker » нед сеп 11, 2011 20:01

В съседната тема прочетох, че нашите олимпийци са се представили блестящо на тазгодишнита олимпиада по астрономия и астрофизика в Полша, за което, разбира се, моите адмирации. Зачудих се обаче какви ли задачи са им дали да решават и след дълго и безплодно търсене така и не открих. За сметка на това се натъкнах на теоретичните задачи от една по-старичка (от 2008 г.) олимпиада и реших, че е добра идея да ги преведа на български, та да може учениците, които имат интерес в астрономията и имат желание да участват в олимпиади да знаят какво ги чака на върха.

Олимпиадата, от която са тези задачи, е проведена в Индонезия, затова не се чудете на географските локации в някои от въпросчета. Имайте предвид, че теоретичният кръг се състои от две части – в първата има 15 „по-лесни” въпроса, а във втората – само три. Общото време за решението на всички задачи е 5 часа, което означава, че имате на разположение по-малко от 17 мин. на въпрос. Надявам се, че от труда ми ще има някаква полза и въпреки че съм се старал проводът ми да е максимално ясен на места може би съм допуснал грешки и неточности, затова и прикачвам архив с оригиналните задачи на английски. И още нещо – за решението на тези задачи не се изискват познания за т. нар. „висша” математика. Математическите знания на всеки ученик от средния курс би трябвало да са достатъчни за решението им.

Първа част

Задача 1 Двама души се намират на екватора и разделени на 180<sup>0</sup> един от друг по едно и също време наблюдават положението на Луната спрямо околните звезди. Ако деклинацията на Луната е нула, скицирайте ситуацията и определете наблюдаваната от двамата разлика в ректасцензията.

Задача 2 На 2-ри април, 2008 г, един телескоп (с диаметър 10 cm и f/10) на Обсерваторията Босша бе използван за наблюдение на Слънцето и чрез него бе открита активна област 0987 (според класификацията на NOAA) на 8<sup>0</sup> южно и 40<sup>0</sup> западно от центъра на слънчевия диск. Областта бе заснета с камера CCD SBIG ST-8 (1600 х 1200 пиксела, (9µm x 9 µm)/ пиксел), като размерът й беше 5 х 4 пиксела. Според Астрономическия алманах слънчевият диаметър е 32’. Колко голяма е площта на активната област, изразена в милионни от слънчевия диск?

Задача 3 На 19-ти юни 2008 г настъпи пълнолуние в 00:30 западно индонезийско време (местно време за западната част на Индонезия (на запад от 105<sup>0</sup> Е)). Определете минималното и максимално възможно време, за което Луната е била над хоризонта за наблюдател в Обсерваторията Босша (географска дължина: 107<sup>0</sup> 35' 00″.0 E, географска ширина: 6<sup>0</sup> 49' 00″.0 S, надморска височина: 1300 m). Часова зона – UT +7 h.

Задача 4 Представете си звезда с маса 20 пъти тази на Слънцето. Ако 20 % от масата на звездата в настоящия момент е съставена от хелий, определете колко дълго ще протече стадият на горене на хелий за тази звезда. Приемете, че светимостта на звездата е 100 пъти слънчевата и 30 % от нея се дължат на горенето на хелий. Атомната маса на <sup>12</sup>С е 12.000000 amu. Реакцията, при която хелий се превръща във въглерод е:
3 <sup>4</sup>Не --> <sup>12</sup>C + γ

Задача 5 Средната температура на космическия микровълнов фон (СМВ) в момента е Т = 2.73 K, като измерванията покзват, че източникът на СМВ има червено отместване z = 1100. Настоящите плътности на тъмната енергия, тъмната материя и нормалната материя във Вселената са съответно ρ<sub>т.е.</sub> = 7.1 × 10<sup>−30</sup> g/cm<sup>3</sup>; ρ<sub>т.м.</sub> = 2.4 × 10<sup>−30</sup> g/cm<sup>3</sup> и ρ<sub>н.м.</sub> = 0.5 × 10<sup>−30</sup> g/cm<sup>3</sup>. Какво е било отношението между плътностите на тъмната материя към тъмната енергия, по времето когато СМВ е бил излъчен, ако приемем, че тъмната енергия е енергия на вакуума?

Задача 6 Наблюдения в радиодиапазона на газов облак, кръжащ около черна дупка в центъра на галактиката ни, показват, че излъчването при промяната на ориентацията на спина на водородните атоми става при честота 1421.23 MHz (имайте предвид, че за неподвижни спрямо наблюдателя атоми тази честота е 1420.41 MHz). Ако облакът се намира на 0.2 рс от черната дупка и орбитата му е кръгова, определете скоростта на този облак, както и дали се движи към нас или се отдалечава. Намерете и масата на черната дупка.

Задача 7 Звезда от главната последователност на разстояние 20 pc е едва забележима през един космически телескоп, който работи във всички диапазони на спектъра. След време звездата ще напусне главната последователност и ще се придвижи нагори по отвесния ръкав на диаграмата Херцшпрунг-Ръсел, като температурата й ще спадне три пъти, а радиусът й ще се увеличи 100 пъти. Какво ще е новото минималното разстояние, на което звездата ще бъде отново едва забележима през същия телескоп?

Задача 8 Гравитационното привличане на Слънцето и Луната води до повишавания и намалявания на нивото на моретата. Нека φ бъде разликата в географската дължина на две точки А (намираща се в океана) и В, като и двете точки са на екватора. Изразете хоризонталното ускорение на морската вода в точка А, причинено от въздействието на Луната, когато за земния наблюдател Луната се намира над точка В (използвайте φ, радиуса на Земята - R и разстоянието Земя-Луна – r).

Задача 9 Лъчението на Слънцето, което пада на земната повърхност, първо трябва да премине през атмосферата. Земната повърхност също излъчва лъчение, което трябва да премине през атмосферата, преди да се насочи към космоса. В общи линии, преминаваемостта на слънчевата радиация (t<sub>1</sub>) e по-голяма от тази (t<sub>2</sub>)на земното лъчение. Нека T e eфективната температура на Слънцето, R e радиусът му, r е радиусът на Земята, а х е разстоянието между Земята и Слънцето. Изразете температурата на земната повърхност като функция на гореспоменатите параметри.

Задача 10 Координатите на компонентите на визуално двойната звезда µ Sco за 22 август 2008 г. са дадени в таблицата по-долу:

Изображение

Звездите са наблюдавани с рафракторния телескоп Zeiss в Обсерваторията Босша (с апертура 600 mm и фокусно разстояние 10 780 mm). Телескопът е оборудван със ССD камера (765 х 510 пиксела). Размерът на пиксела е 9µm x 9µm.

А. Могат ли и двете компоненти да се съберат в един кадър? (Отговорете с „Да” или „Не”, като се обосновете с изчисления!)

Б. Колко градуса е ъгълът на вторичната компонента спрямо север?

Задача 11 По-долу виждате снимка на 35 mm филм, показваща слънчевото затъмнение в Думай, Риау, Индонезия на 22 август, 1998 г. Направена е с телескоп с ефективен диаметър 10 cm и относителна апертура f/15. Диаметърът на слънчевия диск на оригиналната снимка е 13.817 mm, а на лунния диск – 13.235 mm. Определете разстоянията на Луната и Слънцето до Земята (в km) и колко процента от слънчевия диск са били скрити от Луната по време на пръстеновидното слънчево затъмнение.

Изображение

Задача 12 Свръхнова тип Іа в една далечна галактика има светимост 5.8 х 10<sup>9</sup> пъти колкото тази на Слънцето. Представете си, че наблюдавате свръхновата с телескопа си и откривате, че яркостта й е 1.6 х 10<sup>-7</sup> пъти колкото тази на Вега. Известно е, че червеното отместване на галактиката е z = 0.03. Намерете разстоянието до галактиката (в рс) чрез свръхновата и чрез закона на Хъбъл.

Задача 13 Пътувайки с космически кораб, учени прелитат близо до един обект, който е предизвикал интереса им, и те са пожелали да го изучат с помощта на бордния телескоп. За улеснение работим в двуизмерна равнина и позицията на космическия кораб е с координати (0,0). Формата на обекта е диск и се описва с уравнението:

x<sup>2</sup> + y <sup>2</sup> - 10 x – 8y + 40 = 0

Намерете точните стойности на максимума и минимума на tg φ, където φ е ъгъла на телескоп към оста х по време на наблюдението от единия до другия край на диска.

Задача 14 Представете си един потенциално опасен обеккт (ПОО), който се движи по затворена орбита под влиянието на земната гравитация. Нека u зависи обратно пропорционално от разстоянието на обекта до Земята, а р е големината на момента му. Докато обектът пътува, графиката на u като функция на р минава през точките А и В, показани в таблицата по-долу. Намерете масата и пълната енергия на обекта, изразете u като функция на р и скицирайте формата на крива u от А до В.

Изображение

Задача 15 Галактика NGC 2639 се идентифицира като Sa галактика с измерена максимална скорост на въртене v<sub>max</sub> = 324 km/s. След корекции за поглъщането и разсейването на светлината от галактиката, звездната й величина в В (синьо) е оцененена на m<sub>B</sub> = 12.22. Прието е с радиус R<sub>25</sub> (в крс) да се означава границата на галактиката където повърхностната яркост пада до 25 mag<sub>B</sub>arcsec<sup>2</sup>. Спиралните галактики се описват със следното типично отношение:

log R<sub>25</sub> = -0.249M <sub>B</sub> - 4.00,

където M <sub>B</sub> е абсолютната звездна величина в В. Приложете отношението на Тули-Фишер за синята спектрална област за Sa галактики:

M <sub>B</sub> = -9.95 log v<sub>max</sub> + 3.15 (v<sub>max</sub> e в km/s)

И намерете масата на NGC 2639 до R<sub>25</sub>. Ако цветовият индекс на Слънцето е (m<sub>В</sub> - m<sub>V</sub>) = 0.64, опишете масата на галктиката в единици слънчева маса и светимостта й в единици слънчева светимост.

Втора част

Задача 1 Затъмнително двойна звезда има период от 30 дни. Кривата на блясъка й на фигурата долу показва, че вторичната компонента закрива главната звезда (от точка А до D) за 8 часа (измерено от момента на първия контакт до момента на последния), като се има предвид, че от точка В до С периодът на пълно затъмнение е 1 час и 18 минути. Според спектралния анализ максималната радиална скорост на главната звезда е 30 km/s, а на вторичната – 40 km/s. Ако приемем, че орбитите са кръгови и инклинацията е i = 90<sup>0</sup>, определете радиусите и масите на двете звезди в единици слънчеви радиуса и маси.
Изображение

Задача 2 UBV фотометрично наблюдение на звезда дава следните стойности: U = 8.15, B = 8.50 и V = 8.14. Според спектралния клас може да се получи истинския й цвят (U – B)<sub>0</sub> = -0.45. Ако радиусът на звездата е известен и е равен на 2.3 слънчеви радиуса, абсолютната болометрична звездна величина е равна на –0.25, болометричната корекция (ВС) е -0.15, определете:

А. Истинските звездни величини U, B и V на звездата (приемете, че за типичната междузвездна материя отношението на пълното към частичното разсейване на светлината (цветовият ексцес) е R<sub>V</sub> = 3.2);

Б. Ефективната температура на звездата;

В. Разстоянието до звездата в рс.

Забележка: Отношението на цветовия ексцес на U – B и на B – V е Е(U – B) = 0.72 E(B –V). Нека А<sub>V</sub> бъде междузвездното поглъщане и R = 3.2, тогава А<sub>V</sub> = 3.2 E(B – V).

Задача 3 Измервания на космическия микровълнов фон (СМВ) показват, че температурата е практически еднаква в която и да е точка на небето в много голяма степен на точност. Нека предположим, че светлината, излъчена в момента на рекомбинация (T<sub>r</sub> ≈ 3000 K, t<sub>r</sub> ≈ 300000 години) чак сега достига до нас (T<sub>0</sub> ≈ 3 K, t<sub>0</sub> ≈1.5 x 10<sup>10</sup> години). Мащабният фактор S се дефинира като S<sub>0</sub>= S(t = t<sub>0</sub> ) = 1 и S<sub>t</sub> = S(t < t<sub>0</sub> ) < 1. Забележете, че периодът на преобладаване на лъчението е между времето, в което е спряла инфлацията (t = 10<sup>-32</sup>) и времето, в което се е случила рекомбинацията, а пък периодът на преобладаване на материята е започнал след периода на рекомбинация. По време на периода на лъчението S e пропорционален на t<sup>1/2</sup>, а през периода на материята S е пропорционален на t<sup>2/3</sup>.

А. Оценете разстоянието до хоризонта, когато се е случила рекомбинацията. Приемете, че температурата Т е пропорционална на 1/S, където S е мащабния фактор на размера на Вселената;

Б. Забележка: Разстоянието до хоризонта в градуси се дефинира като максималното разстояние между две точки в космическия микровълнов фон, от което двете точки могат да се „видят” една друга по времето в което е бил излъчен СМВ.

В. Вземете две точки в СМВ които сега наблюдаваме, че се намират на ъгъл α = 6<sup>0</sup> една от друга. Могат ли двете точки да си комуникират посредством фотони? (Отговорете с „Да” или ”Не” и се обосновете математически);

Г. Оценете размера на Вселената в края на периода на инфлация.

Таблица с константи

Астрономическа единица (АU) - 149 597 870 691 m
Светлинна година - 9.4605 × 10<sup>15</sup> m = 63 240 AU
Парсек (рс) - 3.0860 × 10<sup>16</sup> m = 206 265 AU
Сидерична година - 365.2564 дни
Тропическа година - 365.2422 дни
Грегорианска година - 365.2425 дни
Сидеричен месец - 27.3217 дни
Синодичен месец - 29.5306 дни
Среден сидеричен ден - 23h56m4s.091 средно слънчево време
Среден слънчев ден - 24h3m56s.555 сидерично (звездно) време
Средно разстояние Земя-Луна - 384 399 000 m
Земна маса - 5.9736 × 10<sup>24</sup> kg
Среден радиус на Земята - 6 371 000 m
Средна орбитална скорост на Земята - 29 783 m/s
Лунна маса - 7.3490 х 10<sup>22</sup> kg
Среден радиус на Луната - 1 738 000 m
Слънчева маса - 1.9891 × 10<sup>30</sup> kg
Слънчев радиус - 6.96 х 10<sup>8</sup> m
Слънчева светимост - 3.96 × 10<sup>26</sup> J s<sup>-1</sup>
Ефективна температура на Слънцето - 5 800 K
Видима зв. вел. на Слънцето - -26.8
Абсолютна зв. вел. на Слънцето - 4.82
Абсолютна болометрична зв. вел. на Слънцето - 4.72
Скорост на светлината - 299 790 m/s
Гравитационна константа - 6.6726× <sup>-11</sup> N m<sup>2</sup> kg<sup>-2</sup>
Константа на Болцман - 1.3807 × 10<sup>-23</sup> J K<sup>-1</sup>
Константа на Стефан-Болцман - 5.6705× 10<sup>-8</sup> J s <sup>-1</sup> m<sup>-2</sup> K<sup>-4</sup>
Константа на Планк - 6.6261 × 10<sup>-34</sup> J s
Заряд на електрона - 1.602 × 10<sup>-19</sup> C = 4.803 × 10<sup>-10</sup> esu
Маса на електрона - 5.48579903 × 10<sup>-4</sup> amu = 9.11 ×10<sup>-31</sup> kg
Маса на фотона - 1.00727647 amu = 1.67268 × 10<sup>-27</sup> kg
Маса на неутрона - 1.008664904 amu = 1.67499 × 10<sup>-27</sup> kg
Маса на ядрото на деутерия - 2.013553214 amu = 3.34371 × 10<sup>-27</sup> kg
Маса на водорода - 1.00794 amu = 1.67379 × 10<sup>-27</sup> kg
Маса на хелия - 4.002603 amu = 1.646723 × 10<sup>-27</sup> kg
Прикачени файлове
theoretical.zip
(1.07 MиБ) Свален 142 пъти

Relinquishmentor
Мнения: 668
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 9

Re: Задачи от международна олимпиада по астрономия (на бг)

Мнение от Relinquishmentor » пон сеп 12, 2011 05:25

Сталкер, имаш огромни поздравления от мен за тоя пост затова, че си се потрудил да преведеш и изпишеш толкова много неща! Дано тия задачи, които си ни поднесъл, да вземат да живнат малко тоя умрял раздел :D
Аз повечето задачи не мога да ги реша, но рекох да опитам с тази, защото тя на практика е чисто геометрична и не изисква човек да мисли много по нея :D

Задача 13 Пътувайки с космически кораб, учени прелитат близо до един обект, който е предизвикал интереса им, и те са пожелали да го изучат с помощта на бордния телескоп. За улеснение работим в двуизмерна равнина и позицията на космическия кораб е с координати (0,0). Формата на обекта е диск и се описва с уравнението:

x<sup>2</sup> + y <sup>2</sup> - 10 x – 8y + 40 = 0

Намерете точните стойности на максимума и минимума на tg φ, където φ е ъгъла на телескоп към оста х по време на наблюдението от единия до другия край на диска.

Най-напред да забележим, че уравнението на окъжността е (x-5)<sup>2</sup> + (y-4)<sup>2</sup> = 1, значи центърът на окръжността има координати (5,4), а радиусът на окръжността има дължина 1.
След това чертеж:
Изображение
И вече всичко е ясно. Трябва да се намерят тангенсите на двата ъгъла φ (за по-лесно при изписването съм ги означил с една буква), а това може да стане като намерим височините h (оцветени , също означени с една буква). Ще работим за по-малкия ъгъл и за по-малкото h.
Имаме HO = SQRT(4<sup>2</sup>+5<sup>2</sup>) = SQRT(41)
После HA = SQRT(HO<sup>2</sup> - 1<sup>2</sup>) = SQRT(40)
След това HB = SQRT(h<sup>2</sup> + 25)
По-нататък BA = HA - HB = SQRT(40) - SQRT(h<sup>2</sup> + 25)
Триъгълниците HEB и BAO са подобни (2 равни ъгъла) и оттук:
h/BA = 5/1
По същия начин работим и за големия ъгъл и за голямото h, като разглеждаме тоя път триъгълниците HЕD и СОD. Получава се
h/CD = 5/1
Така, пак, както горе, за CD намираме CD = -(SQRT(40) - SQRT(h<sup>2</sup> + 25)).
Общо получаваме:
Изображение
Двата неотрицателни корена на това квадратно уравнение за h са:
Изображение
Оттук, за да намерим тангенсите на ъглите, очевидно (виж картинката) трябва да разделим h на 5. Получаваме:
Изображение

Дано не съм направил грешка някъде, както често ми се случва :roll:

Betelgeuse
Мнения: 1724
Регистриран: чет авг 11, 2005 22:26
Репутация: 12
Местоположение: остров Ванкувър
Контакти:

Мнение от Betelgeuse » пон сеп 12, 2011 08:58

stalker, мерси !


Relinquishmentor, при мене твоите картинки не излизат. Моля ползвай imgeshack.us (както stalker е направил)
Space is big. You just won't believe how vastly, hugely, mind-bogglingly big it is.

"...any scientist who couldn't explain to an eight-year old what he was doing is a charlatan."

Relinquishmentor
Мнения: 668
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 9

Мнение от Relinquishmentor » пон сеп 12, 2011 09:48

Забравих, че го пр****ха тоя сайт, извинявам се. Ето видими (надявам се) линкове към картинките в последователност:
http://url.bg/show-image.php?id=b027c73 ... 469b1a1910
http://url.bg/show-image.php?id=c88f3da ... 0a7bbb245c
http://url.bg/show-image.php?id=5b36cea ... 724a4c6b98
http://url.bg/show-image.php?id=175910a ... 5ec697d5dc

Потребителски аватар
stalker
Мнения: 809
Регистриран: пет окт 05, 2007 22:35
Репутация: 6
Контакти:

Мнение от stalker » пон сеп 12, 2011 20:09

@Relinquishmentor Нямаш грешка в отговора - аз получавам същото, но в хода на малко по-различното ми решение използвам функцията аркустангенс, в която май учениците все още не са посветени :D .

А за другите задачи - на пръв поглед всичките изглеждат ужасни, но пък някои от тях са типови и веднъж, ако ти покажат как се решават, след това няма проблеми. Така че нека учениците, които четат, да не се обезкуражават. Аз също не бих решил повечето, обаче някак си така и не ми предизвикват интереса. Преди няколко години много решавах подобни задачи (доста по-лесни де), стигал съм до националния кръг на олимпиадата по астрономия, но в последно време интересът ми затихва за сметка на по-практически проблеми (МЕИ-то май започва да си казва дума :lol: ).

Иначе изписването на поста наистина ми струваше усилия, но докато превеждам новини или нещо друго самият аз се обучавам и в случая си опресних доста астрономически понятия, които бях позабравил.

Потребителски аватар
sider
Мнения: 969
Регистриран: нед сеп 04, 2011 08:35
Репутация: 0
Местоположение: Смолян

Re: Задачи от международна олимпиада по астрономия (на бг)

Мнение от sider » чет сеп 22, 2011 13:14

Много интересни задачки :) Я да пробваме No 7, че ми се вижда една от най-лесните. Светимостта е пропорционална на квадрата на радиуса на звездата и на четвъртата степен на температурата (точната формула в случая няма значение). От което следва, че заради "раздуването" светимостта ще увеличи 10 000 пъти, а заради охлаждането ще намалее 81 пъти - т.е. сумарния ефект ще е увеличение на светимостта 123.45679 пъти (добре са го нагласили като число :)))
Сега въпросът е: колко пъти трябва да се увеличи разстоянието, за да се запази видимата светимост.

Подобно на гравитацията, видимата светимост е обратно пропорционална на квадрата от разстоянието. В случая ще се наложи да сметнем квадратен корен от горното число и получаваме:

11.11 пъти по-голямо разстояние, т.е. за да запазим същата видима звездна величина на червения гигант, трябва да се отдалечим на 222.22 парсека.

Relinquishmentor
Мнения: 668
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 9

Мнение от Relinquishmentor » чет сеп 22, 2011 14:03

Те наистина повечето задачи изискват прилагане на някакви основни формули, но пък съставителите, сигурно за да скрият колко са елементарни, така са им "украсили" условията, че човек може да припадне от ужас като ги види. Ето например тая:

Задача 6 Наблюдения в радиодиапазона на газов облак, кръжащ около черна дупка в центъра на галактиката ни, показват, че излъчването при промяната на ориентацията на спина на водородните атоми става при честота 1421.23 MHz (имайте предвид, че за неподвижни спрямо наблюдателя атоми тази честота е 1420.41 MHz). Ако облакът се намира на 0.2 рс от черната дупка и орбитата му е кръгова, определете скоростта на този облак, както и дали се движи към нас или се отдалечава. Намерете и масата на черната дупка.

Тука просто трябва да се приложи формулата за Доплеровия ефект
Изображение, за да намерим скоростта v_s,r и да забележим, че щом вижданата честота е по-голяма, значи обектът се приближава. Като знаем вече скоростта на "газовия облак", е елементарно да намерим и масата на "черната дупка" (уу, колко страшно звучи!)

Потребителски аватар
sider
Мнения: 969
Регистриран: нед сеп 04, 2011 08:35
Репутация: 0
Местоположение: Смолян

Мнение от sider » чет сеп 22, 2011 15:10

Relinquishmentor написа:Те наистина повечето задачи изискват прилагане на някакви основни формули, но пък съставителите, сигурно за да скрият колко са елементарни, така са им "украсили" условията, че човек може да припадне от ужас като ги види.
Освен всичко обаче някои задачи не са дефинирани коректно, както например тази с облака и 21-сантиметровата вълна. Ясно е, че единствения начин да се измери скоростта е чрез доплеровото отместване, обаче това върши работа само за двата частни случая, когато облакът се движи точно по зрителния лъч (в посока към или от нас). Само в тези случаи измерената скорост ще е равна на тангенциалната. От условието не става ясно в каква позиция са облакът и черната дупка спрямо наблюдателя, което обезсмисля задачата. Ако например облакът обикаля около дупката по орбита, която е перпендикулярна на наблюдателната ос, никакъв доплеров ефект няма да се наблюдава. (или ако се наблюдава, той няма да се дължи на въртенето)

Потребителски аватар
sider
Мнения: 969
Регистриран: нед сеп 04, 2011 08:35
Репутация: 0
Местоположение: Смолян

Re: Задачи от международна олимпиада по астрономия (на бг)

Мнение от sider » пон сеп 26, 2011 15:47

Хубави задачки, а желаещи за решаване няма :) Я да пробваме още една, току виж и други се поразмърдат:

Задача 12 Свръхнова тип Іа в една далечна галактика има светимост 5.8 х 109 пъти колкото тази на Слънцето. Представете си, че наблюдавате свръхновата с телескопа си и откривате, че яркостта й е 1.6 х 10-7 пъти колкото тази на Вега. Известно е, че червеното отместване на галактиката е z = 0.03. Намерете разстоянието до галактиката (в рс) чрез свръхновата и чрез закона на Хъбъл.

Явно идеята на задачта е да се изчисли разстоянието до галактиката по два от известните методи и да се сравнят реултатите. Почваме с по-елементарния метод:

1. Разстояние, изчислено по закона на Хъбъл.
Както се знае, закона на Хъбъл дава връзката между скорост на отдалечаване на дадена галактика(v) и разстояние до нея(r):

v=H.r

или

r=v/H (1)

H е константата на Хъбъл, няма строго дефинирана стойност, но ще трябва да приемем нещо усреднено - примерно 70 км/с за мегапарсек.

Имаме стойността на червеното отместване z=0.03.

Тъй като z=v/c, където c е скоростта на светлината, намираме:

v = z.c = 0.03 * 300 000 = 9000 km/s.

Заместваме в закона на Хъбъл (1) и за разстоянието до галактиката получаваме:

r= v/H = 9000/70 = 128.6 Mpc

2. Разстояние, изчислено по светимостта на суперновата.

Тук в условието имаме две съотношения:

(а) видимата светимост на свръхновата е 1.6 х 10е-7 пъти по-слаба от Вега.
(б) (предполагаемата) абсолютна светимост на свръхновата е 5.8 х 10е9 по-силна от тази на Слънцето

Тъй като Вега е от нулева зв.величина и се използува за еталон за светимост на всички други звезди, от условието (а) лесно намираме видимата звездна величина на свръхновата:

m_SN = -2.5 lg (0.00000016) = 17m

Сега ни е нужна и абсолютната звездна величина на свръхновата, за да намерим разстоянието до нея на база разликата между видима и абсолютна.

За целта ни е нужна абсолютната звездна величина на Слънцето. Намираме я в приложената таблица:

M_sun=4.82m

Ползуваме същата формула, но този път по отношение на Слънцето (съгласно условие (б)):

M_SN - M_sun = -2.5 lg(5 800 000 000) = -2.5 x 9.76 = -24.41

т.е. абсолютната зв. величина на суперновата е:

M_SN = M_sun - 24.4 = 4.82 - 24.41 = -19.59m

И тъй, имаме видимата и абсолютната величини, разстоянието вече се получава лесно по формулата:

r = 10 ^ (m_SN - M_SN + 5)/5 = 10 ^ 8.318 = 208 Mpc

Лично мен резултатите ме изненадват - разликата по двата метода е от порядъка на 80 мегапарсека!
От една страна, нормално е да има разлика, тъй като точно по този начин са открили, че константата на Хъбъл не е константа и че зависи от разстоянието, т.е. от времето - което уж доказвало, че вселената се разширява ускорително. От друга страна разлика от такъв голям порядък за едно не особено голямо разстояние (за междугалактическия мащаб) ми се вижда прекалено голяма.
Не изключвам вероятността да бъркам някъде, някой ако има желание, може да провери сметките ;-)

Relinquishmentor
Мнения: 668
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 9

Мнение от Relinquishmentor » пон сеп 26, 2011 18:14

E щом си рекъл :D

За твоята задача и аз получих нещо подобно (205Mрc), като използвах само вид. зв. вел., но и мен причината за разликата ми убягва. Както и да е, астрономите да му мислят.

Аз да взема тази:

Задача 14 Представете си един потенциално опасен обеккт (ПОО), който се движи по затворена орбита под влиянието на земната гравитация. Нека с u означим реципрочната стойност на разстоянието на обекта до Земята, а р е големината на импулса му. Докато обектът пътува, графиката на u като функция на р минава през точките А и В, показани в таблицата по-долу. Намерете масата и пълната енергия на обекта, изразете u като функция на р и скицирайте формата на крива u от А до В.
Изображение

Означаваме:
M - маса на Земята
m - маса на обекта
Е - пълна енергия на обекта
ү - гр. константа
r - разстояние между обекта и центъра на Земята

От ЗЗЕ за обекта имаме:
mv<sup>2</sup>/2 - үMm/r = E
За импулса имаме: р=mv. Заместваме v в ЗЗЕ и намираме:
p<sup>2</sup>/2m -үMm/r = p<sup>2</sup>/2m -үMmu = E
Зависимостта на p от u е

p(u) = sqrt(2mE + 2m<sup>2</sup>үMu)

Да положим 2mE = a, 2m<sup>2</sup>үM = b*
Като заместим последователно с дадените стойности p и u, намираме:

(0,052.10<sup>9</sup>)<sup>2</sup>=a+5,15.10<sup>-8</sup>b
(1,94.10<sup>9</sup>)<sup>2</sup>=a+194,17.10<sup>-8</sup>b

От тази система намираме а и b. От* получаваме m = sqrt(b/2үM), E= (a/2)sqrt(2үM/b)


По въпроса за формата на кривата от т. А до т. B - тъй като u нараства в този интервал, значи r = 1/u намалява. Освен това, според условието, движението е по елипса (това би трябвало да излезе и от енергията -да е отрицателна). Значи ако погледнем срещу елипсата така, че обектът да се движи обратно на часовника, той ще се движи в горния край на елипсата по посока на перихелия.

Потребителски аватар
sider
Мнения: 969
Регистриран: нед сеп 04, 2011 08:35
Репутация: 0
Местоположение: Смолян

Мнение от sider » вт сеп 27, 2011 12:03

Така и не схванах условието на No.14, а то имало защо. :lol: Хубаво че си оправил неточностите в превода.

Relinquishmentor
Мнения: 668
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 9

Re: Задачи от международна олимпиада по астрономия (на бг)

Мнение от Relinquishmentor » вт сеп 27, 2011 16:34

Я да я видим и тая страховита задача.

Задача 4 Представете си звезда с маса 20 пъти тази на Слънцето. Ако 20 % от масата на звездата в настоящия момент е съставена от хелий, определете колко дълго ще протече стадият на горене на хелий за тази звезда. Приемете, че светимостта на звездата е 100 пъти слънчевата и 30 % от нея се дължат на горенето на хелий. Атомната маса на <sup>12</sup>С е 12.000000 атомни единица за маса. Реакцията, при която хелий се превръща във въглерод е:
3 <sup>4</sup>Не --> <sup>12</sup>C + γ

Слънчева светимост - 3,96 × 10<sup>26</sup> J/s
Слънчева маса - 1,9891 × 10<sup>30</sup> kg
Маса на хелия-4,002603 атомни единица за маса = 1.646723 × 10<sup>-27</sup> kg

Тука явно трябва по някакъв начин да приложим формулата на Айнщайн E<sub>0</sub> = m<sub>0</sub>c<sup>2</sup>. От реакцията виждаме, че се излъчва γ-квант, който "отнася" енергията и чиято маса би трябвало да е равна на разликата в масите на изходния и крайния продукт. Масата на изходния продукт е 3 ×<sup>4</sup>Не aeм, т.е. 3.4,002603 = 12,007809 aeм, докато масата на крайния продукт е 12. Значи масата на фотона е 0,007809 aem. От уикипедия зимам, че (щото тука не е дадена) 1aem = 1,660538921×10<sup>-27</sup> kg. Значи за масата на фотона имаме m<sub>γ</sub> = 12,967148434089.10<sup>-30</sup> kg. Енергията на фотона е
Е<sub>γ</sub> = m<sub>γ</sub></sub>c<sup>2</sup> = 12,967148434089.10<sup>-30</sup>.(3.10<sup>8</sup>)<sup>2</sup> = 1,16704335906801.10<sup>-12</sup> J
Значи от три хелиеви атома се произвежда енергия Е<sub>γ</sub>
Да намерим сега масата на хелия в звездата - M<sub>Не</sub> = 20%. 20.1,9891 × 10<sup>30</sup> = 7,9564.10<sup>30</sup>kg
Масата на три хелиеви атома M<sub>3Не</sub> = 3.1,646723 × 10<sup>-27</sup>kg = 4,940169.10<sup>-27</sup> kg
Сега да разделим масата на хелия на масата на три хелиеви атома, за да видим колко тройки хелиеви атоми има в звездата:
n<sub>3He</sub> = M<sub>Не</sub>/M<sub>3Не</sub> = 1,61005.10<sup>57</sup>
От пълното изгаряне на хелия се получава енергия Е = Е<sub>γ</sub>.n<sub>3He</sub> = 1,16704335906801.10<sup>-12</sup>.1,61005.10<sup>57</sup> = 1,878998.10<sup>45</sup> J
Да видим сега колко от светимостта (мощността) на звездата се дължи на хелиевото горене
L<sub>He</sub> = 30%.100.3,96 × 10<sup>26</sup> = 1,188.10<sup>28</sup> W
Времето ще намерим от дефиниционната връзка L := E/t
t = E/L = 1,878998.10<sup>45</sup>/1,188.10<sup>28</sup> =

t = 5 015 373 376 години

Горното е вярно при условие, че приемем какво мощността на звездата, дължаща се на горенето на хелия не зависи от времето (значи и от количеството гориво). Иначе трябва да ни е даден някакъв закон, по който да се изменя. Това изглежда малко странно, но може би не толкова, защото звездата с напредване на времето започва все по-алчно да пилее запасите си (поне такива са ми спомените).

Ама нещо ми се струва, че това чудовище с 20 слънчеви маси ще гръмне преди да са изтекли и 10 % от това време :shock:

Потребителски аватар
sider
Мнения: 969
Регистриран: нед сеп 04, 2011 08:35
Репутация: 0
Местоположение: Смолян

Re: Задачи от международна олимпиада по астрономия (на бг)

Мнение от sider » вт сеп 27, 2011 19:17

Relinquishmentor написа:
Ама нещо ми се струва, че това чудовище с 20 слънчеви маси ще гръмне преди да са изтекли и 10 % от това време :shock:
Ами да, за звезда, 20 пъти по-масивна от слънцето, 5 милиарда години са си непосилна възраст. Според мен допускането, което правиш, че цялата енергия от нуклеосинтеза се излъчва навън е погрешно. Част от нея отива за компенсация на гравитационното свиване - т.е. трансформира се в кинетична енергия, поддържаща чудовищното налягане във вътрешните слоеве. Така мисля де, не твърдя, че съм прав :wink:

Потребителски аватар
stalker
Мнения: 809
Регистриран: пет окт 05, 2007 22:35
Репутация: 6
Контакти:

Мнение от stalker » вт сеп 27, 2011 19:41

Не мисля, че светимостта на звездата през цялото време е константа, както си приел в решението си - тя (светимостта) ще расте непрекъснато и от тук ще се повишава и количеството отдадена енергия. Освен това в задачата не е споменато от какво се състоят останалите 80% от звездата - ако това е водород, то и количеството на хелия ще се увеличава.

Relinquishmentor
Мнения: 668
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 9

Re: Задачи от международна олимпиада по астрономия (на бг)

Мнение от Relinquishmentor » вт сеп 27, 2011 19:58

sider написа:Ами да, за звезда, 20 пъти по-масивна от слънцето, 5 милиарда години са си непосилна възраст. Според мен допускането, което правиш, че цялата енергия от нуклеосинтеза се излъчва навън е погрешно. Част от нея отива за компенсация на гравитационното свиване - т.е. трансформира се в кинетична енергия, поддържаща чудовищното налягане във вътрешните слоеве. Така мисля де, не твърдя, че съм прав :wink:
Това, което казваш, е вярно, но и другото не е грешно. Тя звездата си го има хидростатичното равновесие от преди това. Част от енергията ѝ я напуска от излъчването, но от синтеза се набавя нова на нейно място. После тая енергия и тя я напуска и на нейно място идва друга, която да поддържа равновесието. И така накрая цялата енергия се излъчва навън. Понеже сме приели, че звездата не се разширява и не се сгорещява (както иначе прави), значи никъде не се изразходва енергия за друго, освен за излъчване.
stalker написа:Не мисля, че светимостта на звездата през цялото време е константа, както си приел в решението си - тя (светимостта) ще расте непрекъснато и от тук ще се повишава и количеството отдадена енергия. Освен това в задачата не е споменато от какво се състоят останалите 80% от звездата - ако това е водород, то и количеството на хелия ще се увеличава.
Просто гледам какво е дадено в условието и се водя по него. Щом не е казано, че светимостта се изменя (т.е. не е посочен закона на изменение), значи по default приемаме, че не се изменя. :D Защото поне на мен ми е трудно да съобразя по какъв закон ли може да се изменя тая светимост? По същия начин за задачата за газовия облак, както правилно отбеляза sider, че е некоректна, бях приел по подразбиране, че облакът се движи право срещу нас, щом не е казано нещо друго за него.

А това за водорода - поне доколкото си спомням май не е вярно, защото след като звездата е започнала да гори хелий, това означава, че хелият е изместил водорода в ядрото ѝ към по-горните пластове, където температурата не е достатъчно висока, за да започне термоядрен синтез. Мисля, че си спомням от една книжка, какво звездите, които колапсират защото им е свършило горивото, имат пребогати на водород горни пластове, но не могат да го използват, защото по-тежките елементи са се настанили "на топлото".

Потребителски аватар
sider
Мнения: 969
Регистриран: нед сеп 04, 2011 08:35
Репутация: 0
Местоположение: Смолян

Re: Задачи от международна олимпиада по астрономия (на бг)

Мнение от sider » вт сеп 27, 2011 20:29

Relinquishmentor написа: Това, което казваш, е вярно, но и другото не е грешно. Тя звездата си го има хидростатичното равновесие от преди това. Част от енергията ѝ я напуска от излъчването, но от синтеза се набавя нова на нейно място. После тая енергия и тя я напуска и на нейно място идва друга, която да поддържа равновесието. И така накрая цялата енергия се излъчва навън. Понеже сме приели, че звездата не се разширява и не се сгорещява (както иначе прави), значи никъде не се изразходва енергия за друго, освен за излъчване.
По принцип е така. Само че в случая приемаш априори, че равновесието между гравитация и налягане е постигнато още при водородното изгаряне, а тройната алфа-синтеза само го поддържа. Не е баш тъй. След изгарянето на водорода започва бърз колапс, който вкарва звездата в режим на въглероден синтез. При това обаче условията вече са чуствително променени - и температурата и налягането са по-високи отколкото при водородното изгаряне, което изисква повече енергия. Така че новото равновесно състояние става при по-високи енергии, т.е. за да се достигне то, първоначално се консумира една допълнителна енергия.
Само че прекалено много задълбахме, задачата едва ли предполага чак толкова усложняване.
:)

Потребителски аватар
stalker
Мнения: 809
Регистриран: пет окт 05, 2007 22:35
Репутация: 6
Контакти:

Re: Задачи от международна олимпиада по астрономия (на бг)

Мнение от stalker » вт сеп 27, 2011 20:48

Relinquishmentor написа:А това за водорода - поне доколкото си спомням май не е вярно, защото след като звездата е започнала да гори хелий, това означава, че хелият е изместил водорода в ядрото ѝ към по-горните пластове, където температурата не е достатъчно висока, за да започне термоядрен синтез. Мисля, че си спомням от една книжка, какво звездите, които колапсират защото им е свършило горивото, имат пребогати на водород горни пластове, но не могат да го използват, защото по-тежките елементи са се настанили "на топлото".
Да, май наистина беше така. Но по същата логика няма да изгори и всичкият хелий, а част от него ще формира хелиева обвивка. Но пък наистина много се задълбочаваме и с отговора, който получаваш, макар и абсурден, сигурно би получил макс точки за тази задача (а то това е целта при тия олимпиади :) ).

Relinquishmentor
Мнения: 668
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 9

Re: Задачи от международна олимпиада по астрономия (на бг)

Мнение от Relinquishmentor » вт сеп 27, 2011 20:50

sider написа:По принцип е така. Само че в случая приемаш априори, че равновесието между гравитация и налягане е постигнато още при водородното изгаряне, а тройната алфа-синтеза само го поддържа. Не е баш тъй. След изгарянето на водорода започва бърз колапс, който вкарва звездата в режим на въглероден синтез. При това обаче условията вече са чуствително променени - и температурата и налягането са по-високи отколкото при водородното изгаряне, което изисква повече енергия. Така че новото равновесно състояние става при по-високи енергии, т.е. за да се достигне то, първоначално се консумира една допълнителна енергия.
Само че прекалено много задълбахме, задачата едва ли предполага чак толкова усложняване.
:)
Хехе, ами живнахме раздела, нали е за това :D

Значи, това не прави условието на задачата некоректно. В нея не се иска да намерим колко дълго изобщо ще трае хелиевото горене - т.е. времето от сливането на първата до последната He-тройка, а колко ще продължи от зададения момент, от който нататък вече се предполага, че няма да имаме разширение и/или сгорещяване. Т.е., не ни интересува какви ги е вършила звездата преди това :D . Но дори да не беше така, не ми се вярва, че това разширение ще глътне чак толкова много енергия, сравнено с пълното количество излъчено за 5-млрд.те години . :lol:
stalker написа:Да, май наистина беше така. Но по същата логика няма да изгори и всичкият хелий, а част от него ще формира хелиева обвивка. Но пък наистина много се задълбочаваме и с отговора, който получаваш, макар и абсурден, сигурно би получил макс точки за тази задача (а то това е целта при тия олимпиади :) ).
И в това има резон, разбира се, но пък от друга страна, новите елементи като въглерод, силиций, желязо, които са по тежки, ще образуват по-компактно ядро и хелият все пак ще си е по-близо до центъра, отколкото водорода е бил. Хехе, дилетантствам, ама е яко да си лафим :D

Relinquishmentor
Мнения: 668
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 9

Мнение от Relinquishmentor » вт сеп 27, 2011 21:20

Само да отбележа нещо, което още в началото ми направи впечатление - прекалено ниската светимост на тая звезда, сравнена с масата ѝ. Например Денеб има същата маса, но светимостта ѝ е 54 000 пъти слънчевата. Ако вземем тази стойност, за времето се получава по-малко от 10 млн. години, което мисля, че е прилична стойност. Ако пък определим L от емпиричното правило L "=" M^3, се получават около 60 млн. години. Изобщо, абсурдният резултат идва от това, дето звезда с такава огромна маса и следователно - енергиен запас, го изразодва толкова пестеливо :).

Потребителски аватар
sider
Мнения: 969
Регистриран: нед сеп 04, 2011 08:35
Репутация: 0
Местоположение: Смолян

Re: Задачи от международна олимпиада по астрономия (на бг)

Мнение от sider » вт сеп 27, 2011 21:21

Ами аз поне друг проблем в решението ти не откривам, следователно го приемам за вярно, макар и с доста налудничав резултат. Ама то пък кой е казал, че тия задачи са правдоподобни :lol:

Потребителски аватар
sider
Мнения: 969
Регистриран: нед сеп 04, 2011 08:35
Репутация: 0
Местоположение: Смолян

Мнение от sider » вт сеп 27, 2011 21:31

Relinquishmentor написа:прекалено ниската светимост на тая звезда, сравнена с масата ѝ.
Да, тука е заровено кучето. 20 слънчеви маси и само 100 слънчеви светимости.... трябваше да го забележа тоя абсурд :shock:

ПП. не, че не е възможно, ако диаметъра е много малък, но случая едва ли е такъв :)

Relinquishmentor
Мнения: 668
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 9

Мнение от Relinquishmentor » ср сеп 28, 2011 11:03

Можем да премахнем всички некоректности, ако приемем следното: светимостта на звездата може да си се увеличава, но това да е за сметка на енергията на другите реакции, които дават останалите 70% от енергията. И това е логично, защото ако горенето на хелия е установило някакво равновесие, по-тежките елементи, които встъпват в реакции, го нарушават и сгорещяват и надуват звездата още повече. Светимостта се увеличава, но абсолютния (не процентния!) принос на хелия към нея можем да смятаме, че не се променя. С напредване на времето масата на хелия намалява за сметка на по-тежките елементи и можем да си помислим, че неговото горене вече няма да дава същия абсолютен принос към енергията, както преди. Но можем да приемем, че сгорещяването на звездата с времето протича по такъв начин, че да изгаря хелия така, щото той да излъчва едно и също количество енергия за единица време. Аз си го представям така - съединяването на три хелиеви ядра в едно въглеродно е вероятностен процес, като вероятността да се случи нараства с увеличаване на температурата. Значи ако в началото имаме дадено количество гориво и дадена температура=вероятност, за определено време t ще имаме n синтезирани тройки хелиеви ядра. Ясно е, че ако масата на хелия намалее, а вероятността=температура остане същата, за същото време ще имаме по-малко синтезирали се тройки. Е, сега ако направим така, че температурата=вероятността да расте с намаляване на масата на хелия така, че броят на синтезираните тройки за единица време да се запази един и същ, ще постигнем еднаква мощност на излъчване от хелия през цялото време, а точно това е и целта.

Потребителски аватар
sider
Мнения: 969
Регистриран: нед сеп 04, 2011 08:35
Репутация: 0
Местоположение: Смолян

Мнение от sider » ср сеп 28, 2011 13:27

Или, нека се опитам да го кажа по-просто, доколкото успях да схвана идеята :)
Ти си пресметнал колко години ще са нужни, за да се изразходи всичкия хелий, но това не означава, че това ще е реалната продължителност на живот на звездата. Звездата вероятно ще гръмне много преди това, но по причина на това, че паралелно текат и други реакции, които вероятно са по-динамични. Kind of ...

Потребителски аватар
stalker
Мнения: 809
Регистриран: пет окт 05, 2007 22:35
Репутация: 6
Контакти:

Мнение от stalker » ср сеп 28, 2011 15:38

Ще взема и аз като автор на темата да се отчета с някоя задача, стига съм ръсил мъдри коментари. Избирам си първата от "по-сложните", която между другото ми се вижда доста по-проста от някои от "лесните" задачи.

"Затъмнително двойна звезда има период от 30 дни. Кривата на блясъка й на фигурата долу показва, че вторичната компонента закрива главната звезда (от точка А до D) за 8 часа (измерено от момента на първия контакт до момента на последния), като се има предвид, че от точка В до С периодът на пълно затъмнение е 1 час и 18 минути. Според спектралния анализ максималната радиална скорост на главната звезда е 30 km/s, а на вторичната – 40 km/s. Ако приемем, че орбитите са кръгови и инклинацията е i = 90<sup>0</sup>, определете радиусите и масите на двете звезди в единици слънчеви радиуса и маси."
На първо място трябва да намерим радиусите на орбитите на двете звезди (главната означавам с индекс А, а вторичната - с индекс В) - това ще ни помогне по-късно да намерим масите им. Понеже те обикалят по кръгови орбити около общия гравитационен център, то орбиталните им скорости не се променят във времето и са равни на посочените максимални радиални скорости v<sub>A</sub> и v<sub>B</sub>. Тъй като знаем и периода им T е лесно да открием изминатия път, а от тук и търсените орбитални радиуси a<sub>A</sub> и a<sub>B</sub>:
a<sub>A</sub> = (v<sub>A</sub>*T)/2п = 12 375 900 000 m
и a<sub>B</sub> = (v<sub>B</sub>*T)/2п = 16 501 200 000 m
Нека означим с a разстоянието между звездите, т.е. a = a<sub>A</sub> + a<sub>B</sub>. Сега вече можем да приложим третия закон на Кеплер в Нютоновата му версия, откъдето ще намерим общата маса на двете звезди. Взимам на готово формулата - извеждането й го има на много места и няма да се занимавам с него:
[(M<sub>A</sub> + M<sub>B</sub>)*T<sup>2</sup>]/a<sup>3</sup> = 4*п<sup>2</sup>/γ.
За да си получим отговора направо в слънчеви маси (нали така го искат), то:
[(M<sub>A</sub> + M<sub>B</sub>)*T<sup>2</sup>]/a<sup>3</sup> = [(M<sub>сл</sub> + M<sub>зем</sub>)*1<sup>2</sup>]/1<sup>3</sup>, където периодът е в земни години, а разстоянието в AU и M<sub>сл</sub> + M<sub>зем</sub> ≈ M<sub>сл</sub>. Или с други думи: M<sub>A</sub> + M<sub>B</sub> = a<sup>3</sup>/T<sup>2</sup>. След заместване със стойностите получавам, че общата маса на двете звезди е 1.057 слънчеви маси. С третия закон на Кеплер няма как да разберем какви са масите на звездите поотделно. За да съставим още едно уравнение за масите използваме ЗЗИ или: M<sub>A</sub>*v<sub>A</sub> = M<sub>B</sub>*v<sub>B</sub> и от тук: M<sub>A</sub>/M<sub>B</sub> = v<sub>B</sub>/v<sub>A</sub> = 40/30 = 1.333. Изразяваме, че M<sub>A</sub> = 1.333M<sub>B</sub> и в горното уравнение: 1.333M<sub>B</sub> + M<sub>B</sub> = 1.057, което означава, че M<sub>B</sub> = 0.454 сл. маси, а M<sub>А</sub> = 0.603 сл. маси. С това приключваме първата част от задачата.

За радиусите ще нарисувам картинка, че така ми е по-лесно да обяснявам:
Изображение
По време на "затъмнението" от момента на първия контакт до последния (t = 8 часа = 28 800 s) точка А от вторичната компонента изминава разстояние D + d, където D и d са диаметрите на двете звезди. Докато се случва това главната звезда пътува в едната посока с 30 km/s, а вторичната - в другата - с 40 km/s, т.е. сумарната скорост е V = 70 km/s. Правя уточнението, че приемам, че все едно звездите се движат по права линия - разглежданият интервал е достатъчно малък, за да направим това допускане. С тези данни можем да съставим уравнението:
V*t = D + d
От друга страна същата тази точка А изминава разстояние, равно на D, за времето на пълното затъмнение (t<sub>1</sub> = 1 ч 18 мин = 4680 s) плюс половината от оставащото време на непълно затъмнение (t<sub>2</sub> = (t-t<sub>1</sub>)/2 = (28 800 - 4680)/2 = 12 060 s) и съставяме второто уравнение:
V*(t<sub>1</sub>+t<sub>2</sub>) = D
От двете уравнения намираме, че радиусът на главната звезда е: R = 585 900 km; на вторичната компонента радиусът е: r = 422 100 km. Или изразено в сл. радиуси: R<sub>A</sub> = 0.8418 сл. радиуса и r<sub>B</sub> = 0.6065 сл. радиуса.

Relinquishmentor
Мнения: 668
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 9

Мнение от Relinquishmentor » ср сеп 28, 2011 17:34

То както сме тръгнали, ще вземем да решим всички задачи :)
stalker написа:От друга страна същата тази точка А изминава разстояние, равно на D, за времето на пълното затъмнение (t<sub>1</sub> = 1 ч 18 мин = 4680 s) плюс половината от оставащото време на непълно затъмнение (t<sub>2</sub> = (t-t<sub>1</sub>)/2 = (28 800 - 4680)/2 = 12 060 s) и съставяме второто уравнение:
V*(t<sub>1</sub>+t<sub>2</sub>) = D
Аз само да кажа, че щеше да бъде по-лесно, ако забележеше, че по време на пълното затъмнение точка А изминава разстояние, равно на разликите в диаметрите D-d. Значи имаме Vt_1 = D-d. От твойто уравнение също излиза това, ама така е по-просто. И аз имах (и сигурно още имам) такава склонност, както казваше госпожата ми по математика, да пълня кофата с вода от десет кладенеца, ама мързелът по-лека я ликвидир(в)а :D

Не разбрах само от цялата задача какво значи това, че инклинацията е 90 градуса?

Потребителски аватар
stalker
Мнения: 809
Регистриран: пет окт 05, 2007 22:35
Репутация: 6
Контакти:

Мнение от stalker » ср сеп 28, 2011 18:03

Relinquishmentor написа:Не разбрах само от цялата задача какво значи това, че инклинацията на орбитите е 90 градуса?
И аз не разбрах. Може и да искат да кажат, че орбитите са под прав ъгъл (което не виждам в реалността как ще стане) и тогава за радиусите ще излезе друго. Все едно, начинът е същият и който иска може да си ги сметне в този случай.

Relinquishmentor
Мнения: 668
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 9

Re: Задачи от международна олимпиада по астрономия (на бг)

Мнение от Relinquishmentor » ср сеп 28, 2011 19:20

Айде и аз да си взема една лесна (от лесните).

Задача 8 Гравитационното привличане на Слънцето и Луната води до повишавания и намалявания на нивото на моретата. Нека φ бъде разликата в географската дължина на две точки А (намираща се в океана) и В, като и двете точки са на екватора. Изразете хоризонталното ускорение на морската вода в точка А, причинено от въздействието на Луната, когато за земния наблюдател Луната се намира над точка В (използвайте φ, радиуса на Земята - R и разстоянието Земя-Луна – r).

Решение:
Означаваме синия ъгъл с алфа. а е ускорението в точка А, а а_x - хоризонталната му компонента, която търсим.
Изображение
Прилагаме синусова теорема за големия триъгълник:
Изображение
Оттук, по позволен или непозволен начин изразяваме cos alfa
Изображение
За ускорението намираме
Изображение

Relinquishmentor
Мнения: 668
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 9

Re: Задачи от международна олимпиада по астрономия (на бг)

Мнение от Relinquishmentor » чет сеп 29, 2011 18:14

Задача 9 Лъчението на Слънцето, което пада на земната повърхност, първо трябва да премине през атмосферата. Земната повърхност също излъчва лъчение, което трябва да премине през атмосферата, преди да се насочи към космоса. В общи линии, преминаваемостта на слънчевата радиация (t<sub>1</sub>) e по-голяма от тази (t<sub>2</sub>)на земното лъчение. Нека T e eфективната температура на Слънцето, R e радиусът му, r е радиусът на Земята, а х е разстоянието между Земята и Слънцето. Изразете температурата на земната повърхност като функция на гореспоменатите параметри.


Приемаме, че до Земята достига лъчението, излъчено от половината от слънчевата повърхност.
Изображение

Върху полусферата с радиус х пада всичката мощност L/2, излъчена от половината слънчева повърхност. Понеже излъчването е еднакво навсякъде, върху площта, обхваната от Земята ∆S, ще пада мощност (светлинен поток) Ф=(L/2)*(∆S/2(pi)x<sup>2</sup>). Тая площ е приблизително равна на (pi)r<sup>2</sup>, значи Ф = (L/2)*(r<sup>2</sup>/2x<sup>2</sup>).

Отношението между преминалия през атмосферата светлинен поток и падналия върху нея, ни дава преминаваемостта на атмосферата за слънчевата радиация. Значи t<sub>1</sub> = Ф<sub>преминал</sub>/Ф, оттук Ф<sub>преминал</sub> = Фt<sub>1</sub> = t<sub>1</sub>(L/2)*(r<sup>2</sup>/2x<sup>2</sup>)

Ф<sub>преминал</sub> e енергният поток, който получава земната повърхност от Слънцето. Земята поглъща енергия и излъчва по-малко, следователно температурата ѝ непрекъснато ще се повишава до достигане на момент, в който излъчената енергия се изравнява с падналата. Можем да приемем, че излъчването става от половината земна повърхност. Нека мощността на излъчване на земната повърхност е Ф<sub>з</sub>. Отношението между излъчената мощност Ф<sub>изл</sub> и Ф<sub>з</sub> ни дава преминаваемостта на земното лъчение през атмосферата t<sub>2</sub>,t<sub>2</sub> = Ф<sub>изл</sub>/Ф<sub>з</sub>. Когато се установи равновесие, Ф<sub>изл</sub> = Ф<sub>преминал</sub>. Значи Ф<sub>з</sub> = Ф<sub>преминал</sub>/t<sub>2</sub> = (t<sub>1</sub>/t<sub>2</sub>)*(L/2)*(r<sup>2</sup>/2x<sup>2</sup>)
От закона на Стефан-Болцман имаме Ф<sub>з</sub> = σ2(pi)r<sup>2</sup>T*<sup>4</sup>, където Т* е търсената температура на земната повърхност, а L = σ4(pi)R<sup>2</sup>T<sup>4</sup>. Като ги заместим горе и с малко преработка, получаваме
Изображение

Отговори
  • Подобни теми
    Отговори
    Преглеждания
    Последно мнение