Тунел през центъра на Земята

вместо бленувания теоретичен раздел

Модератори: mishaikin, bobo, Betelgeuse

Потребителски аватар
stalker
Мнения: 808
Регистриран: пет окт 05, 2007 22:35
Репутация: 1
Контакти:

Тунел през центъра на Земята

Мнение от stalker » чет авг 21, 2008 20:43

Нека си представим, че един ден хората прокопаят тунел от една точка на земната повърхност до срещуположната й през центъра на Земята. Ако бъде хвърлен камък от единия край на тунела, за колко време ще стигне до другия край? Каква ще е максималната скорост на камъка?
Мисля, че задачата ще е интересна на ученици от средния курс.

bobo
Звезден маниак
Звезден маниак
Мнения: 3712
Регистриран: ср авг 18, 2004 07:22
Репутация: 246
Местоположение: Варна
Контакти:

Мнение от bobo » чет авг 21, 2008 21:25

Аз не съм по задачите, но дали няма да има някакъв ефект на махалото - напред, назад, напред, назад и накрая да спре в средата?

Потребителски аватар
Phoenix
Мнения: 1034
Регистриран: нед авг 22, 2004 21:40
Репутация: 0
Контакти:

Re: Тунел през центъра на Земята

Мнение от Phoenix » пет авг 22, 2008 08:14

stalker написа:...Каква ще е максималната скорост на камъка?...
Това ще зависи от формата и размерите на камъка.
Celestron C5 (5" 1250mm Schmidt-Cassegrain) @ EQ3
Tento БПЦ 10x50
Canon EOS 40D

Потребителски аватар
bxd
Мнения: 216
Регистриран: нед фев 06, 2005 20:46
Репутация: 13
Местоположение: София
Контакти:

Мнение от bxd » пет авг 22, 2008 12:35

bobo написа:Аз не съм по задачите, но дали няма да има някакъв ефект на махалото - напред, назад, напред, назад и накрая да спре в средата?
И аз така мисля ;)
Konus Motormax 130/2000; Canon EOS XTi(400D); Celestron C8 малко счупен; сиромашка
VIxen GP и други вехтории :)

Потребителски аватар
Nuke
Мнения: 1704
Регистриран: ср авг 18, 2004 22:39
Репутация: 0
Местоположение: Велико Търново
Контакти:

Мнение от Nuke » пет авг 22, 2008 12:59

а като сложим и съпротивлението на въздуха което ще се увеличава с доближаване към центъра нещата стават още по-неизвестни :D :D :D
Intes-Micro M703 Deluxe
TMB 105/650 Classic CNC
Fujinon 16x70 FMT-SX
Fujinon 10x50 FMT-SX
DiscMount DM6
Tele Vue Radian 6mm и 10mm, Panoptic 24mm и 35mm, Powermate 2" 2x
Takahashi LE-ED 7.5mm

Потребителски аватар
astroto
Мнения: 104
Регистриран: пон авг 11, 2008 15:34
Репутация: 0
Местоположение: Кюстендил!

Мнение от astroto » пет авг 22, 2008 13:28

Много пъти когато няма какво да права съм си мислил до каде ще отиде камака и каде ще спре стигнах до следните изводи
1 камъка ще стигне до 2/3 от пътя си и щесе върне назад ипак напред докато не спре в ядрото!
2 ще изхвърчи от другата страна на планетата( ако е много високо може вятара да го изместии да падне на повърхността)
и после пак като в "1"

Потребителски аватар
stalker
Мнения: 808
Регистриран: пет окт 05, 2007 22:35
Репутация: 1
Контакти:

Мнение от stalker » пет авг 22, 2008 13:37

Виждам, че основните затруднения идват от съпротивлението на въздуха, което действително е трудно да се предвиди. Затова предлагам да се разгледа опростен случай и да го пренебрегнем т.е. нека тунелът представлява вакуумна тръба. Колкото до движението на камъка, той действително трепти около равновесния си ценър (центъра на Земята) подобно на махало.

Потребителски аватар
bxd
Мнения: 216
Регистриран: нед фев 06, 2005 20:46
Репутация: 13
Местоположение: София
Контакти:

Мнение от bxd » съб авг 23, 2008 10:45

ЗА скоростта - става за ученици от средния курс, ама за времето ... мисля че не може да се реши с това ниво на знания . Тряба си висша математика :)
Konus Motormax 130/2000; Canon EOS XTi(400D); Celestron C8 малко счупен; сиромашка
VIxen GP и други вехтории :)

Потребителски аватар
stalker
Мнения: 808
Регистриран: пет окт 05, 2007 22:35
Репутация: 1
Контакти:

Мнение от stalker » вт авг 26, 2008 23:06

Определено може и без висша математика (задачата е поместена в един учебник по физика за 9.клас) стига да се вземат предвид следните неща: законът за определяне на периода на собствените трептения на едно тяло - Т=2pi*sqrt m/k, където к е специфичен коефициент за различните видове трептящи ситеми и законът, по който се изменя земното ускорение - g=g0x/R, където х е разстоянието от центъра на Земята.
И така на камъка действат две сили: сила на тежестта - G=mg (заместваме g с g0x/ R) и равната й връщаща сила G=kx, където к = mg0/R. След като се положи к = g0m/R във формулата за трептенията става известен периода на камъка - 84 min. За да достигне до другия край на тунела на камъка му е необходимо половината време - 42min.
Друг възможен и доста по груб вариант без висша математика е да се търси някаква средна стойност на земното ускорение от повърхността на Земята до центъра й (примерно 5m/s), да се намери времето за което камъкът стига с това ускорение до ядрото, да се определи моментната му скорост в ядрото и накрая да се изчисли за колко време стига до другия края на Земята при положение, че ускорението вече е отрицателно, а движението - равнозакъснително. Следвайки тази логика намираме, че търсеното време е 52min т.е. с 10 повече.

Потребителски аватар
bxd
Мнения: 216
Регистриран: нед фев 06, 2005 20:46
Репутация: 13
Местоположение: София
Контакти:

Мнение от bxd » чет сеп 04, 2008 16:43

Хмм, браво много хитра задачка :) Съвсем бях забравил, че тази формула (периода на собствените трептения) се учи в средния курс :) Но така или иначе, за извеждането й се решава едно диференциално уравненийце ;)

А вторият вариант, който си описал няма да стане, защото не е лесно да се намери това средно ускорение според мен. Най-малкото =gamma*M/R^2, т.е. пак опираме до висша математика за да определим средното g
Konus Motormax 130/2000; Canon EOS XTi(400D); Celestron C8 малко счупен; сиромашка
VIxen GP и други вехтории :)

momo_molnar
Мнения: 19
Регистриран: пон апр 21, 2008 17:22
Репутация: 0
Местоположение: Русе

Вторият и Третият закон на Кеплер

Мнение от momo_molnar » чет сеп 04, 2008 17:43

stalker написа:За да достигне до другия край на тунела на камъка му е необходимо половината време - 42min.
Друг възможен и доста по груб вариант без висша математика е да се търси някаква средна стойност на земното ускорение от повърхността на Земята до центъра й (примерно 5m/s), да се намери времето за което камъкът стига с това ускорение до ядрото, да се определи моментната му скорост в ядрото и накрая да се изчисли за колко време стига до другия края на Земята при положение, че ускорението вече е отрицателно, а движението - равнозакъснително. Следвайки тази логика намираме, че търсеното време е 52min т.е. с 10 повече.
Незнам, но защо не използвате законите на Кеплер???

Betelgeuse
Мнения: 1723
Регистриран: чет авг 11, 2005 22:26
Репутация: 12
Местоположение: остров Ванкувър
Контакти:

Мнение от Betelgeuse » пет сеп 05, 2008 07:19

По простата причина че законите на Кеплер са за движение по орбита. А ти как предлагаш ?
Space is big. You just won't believe how vastly, hugely, mind-bogglingly big it is.

"...any scientist who couldn't explain to an eight-year old what he was doing is a charlatan."

momo_molnar
Мнения: 19
Регистриран: пон апр 21, 2008 17:22
Репутация: 0
Местоположение: Русе

Мнение от momo_molnar » пет сеп 05, 2008 12:08

В случая с тази траектория ( ако пенебрегнем триенето), то си е изродена елипса в права. Тази орбита може да се разглежда като елипса с малка полуос 0, а голяма -радиуса на Земята. Центърът на Земята ще е във фокуса на сплестнатата елипса (която ще изроден кръг в права). Така, центърът на Земята ще се намира в средата на тази права. С законите на Кеплер може да се изведе само времето. За скоростта трябва вече интеграл :wink:

Relinquishmentor
Мнения: 643
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 0

Мнение от Relinquishmentor » нед сеп 07, 2008 17:50

bxd написа:ЗА скоростта - става за ученици от средния курс, ама за времето ... мисля че не може да се реши с това ниво на знания . Тряба си висша математика :)
Получава се едно несложно диференциално уравнение, но пак си трябват знания от II курс, за да се реши.

Потребителски аватар
bxd
Мнения: 216
Регистриран: нед фев 06, 2005 20:46
Репутация: 13
Местоположение: София
Контакти:

Re: Вторият и Третият закон на Кеплер

Мнение от bxd » пон сеп 08, 2008 13:16

momo_molnar написа:
Не знам, но защо не използвате законите на Кеплер???
Дамм, и така би трябвало да стане :) Готина идея ;)
Konus Motormax 130/2000; Canon EOS XTi(400D); Celestron C8 малко счупен; сиромашка
VIxen GP и други вехтории :)

Потребителски аватар
bxd
Мнения: 216
Регистриран: нед фев 06, 2005 20:46
Репутация: 13
Местоположение: София
Контакти:

Мнение от bxd » пон сеп 08, 2008 13:17

Relinquishmentor написа:
bxd написа:ЗА скоростта - става за ученици от средния курс, ама за времето ... мисля че не може да се реши с това ниво на знания . Тряба си висша математика :)
Получава се едно несложно диференциално уравнение, но пак си трябват знания от II курс, за да се реши.
Ами може и без, ако се използва ЗЗЕ ;)
Konus Motormax 130/2000; Canon EOS XTi(400D); Celestron C8 малко счупен; сиромашка
VIxen GP и други вехтории :)

Relinquishmentor
Мнения: 643
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 0

Мнение от Relinquishmentor » пон сеп 08, 2008 22:26

Според изчисленията на някой си (май Нютон), тяло, което се намира във вътрешността на друго, плътно тяло изпитва привличане само от онова "подкълбо", което има за радиус разстоянието от центъра на кълбото до тялото. Сиреч - горните пластове не оказват резултанто влияние, а само долните. Доказателството на това твърдение не е лесно, не знам как става и затова го взимаме на доверие.

Сега пускаме тялото от повърхността. То започва да се движи с променливо ускорение а(r) = γm/r^2, където r e разстоянието от тялото в даден момент до центъра. Понеже то е и функция на времето, можем да запишем:

a(t) = γm(r)/(r(t))^2 или:

r"(t) = γm(r)/(r(t))^2

където функцията m(r) представлява масата на подкълбо при съответен радиус: m(r) = ρV(r) = ρ(4(pi)(r^3)/3.

Тогава:

r"(t) = γρ(4(pi)(r(t)^3)/((r(t))^2) или:

r"(t) = (4/3)(γρ.(pi))r(t)

или още по-сбито:

r"(t) = const.r(t)
0<r<R

Обратната функция на решението на горното диференциално уравнение при подходящи интеграционни константи ни дава точно времето за падане до центъра.

Relinquishmentor
Мнения: 643
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 0

Мнение от Relinquishmentor » съб юни 20, 2009 16:45

@stalker, това решение и аз съм го гледал, но то има недостатъка, че не можем да докажем (без "висша" математика), че движението ще бъде хармонично трептение.

Някой спомена за втори закон на Кеплер - спомням си съвсем уверено, че веднъж на упражнения решавахме тази задача именно с него. Аз обаче сега ще ви покажа, че този закон е неприложим в случая, а резултатът, който се получава от него е лъжливо верен.

Да формулираме значи задачата - дадени са масата на Земята M, радиусът й - R. Плътността на Земята е еднаква навсякъде, а въздушното съпротивление (за сега) не се брои. Пита се за колко време тяло с маса много по-малка от M ще падне до центъра на Земята по съответно прокопания тунел.

Както казах и в предишния пост, при пропадането на тялото в Земята, може да се покаже, че гравитационната сила, която му действа се дължи само на привличането на сферата с радиус равен на растоянието му до центъра. Като отчетем това за уравнението на движение получаваме:

Изображение

(1) F(t) = -γm(t).m/r<sup>2</sup>(t) e

m(t) - масата на сферата с радиус r(t)
m - масата на тялото (излишна, както ще се види, поради последното условие на задачата)
e - eдиничен вектор, задаващ направлението на координатната система.

За m(t) получаваме:
(2) m(t) = ρV(t) = (4.3M(pi)r<sup>3</sup>(t))/(3.4.(pi)R<sup>3</sup>) = M(r(t)/R)<sup>3</sup>

Заместваме в (1) и получаваме:

F = - γmMr<sup>3</sup>(t)/R<sup>3</sup>r²(t)e = -γmMr(t)/R<sup>3</sup>e

Като разпишем по компоненти (само една) и заместим от втория закон на Н., получаваме:

mr''(t) = - m(γM/R<sup>3</sup>)r(t)

Ако положим, както е прието γM/R<sup>3</sup> = ω<sup>2</sup> получаваме уравнението на осцилатора:

r''(t) + ω<sup>2</sup>r(t) = 0

чиито решения са много добре известни:

r(t) = Acos(ωt) + Bsin(ωt)

За да определим константите А и В, ще зададем следните начални условия - тялото се е намирало на повърхността на Земята в началния момент и е било без начална скорост. Значи:

r(0) = R = A

r'(t) = -Aω.sin(ωt) + Bω.cos(ωt)
r'(0) = 0 = Bω => B=0

Окончателно закона за движение на тялото изглежда така:

r(t) = Rcos(√(γM/R<sup>3</sup>)t)

Елементарно може да се провери, че този закон е валиден и когато тялото премине центъра на земята и скоростта му започне да намалява.

Значи тялото ще трепти около центъра по хармоничен закон с период:

T = 2(pi)√(R<sup>3</sup>/γM)

А окончателно търсеното време t e t = T/4 = pi/2√(R<sup>3</sup>/γM) = 21 min.

Сега е ясно, че отношението:

T<sup>2</sup>/R<sup>3</sup> = 4pi<sup>2</sup>/γM = const., което всъщност представлява закона на Кеплер е в сила само защото допуснахме, че плътността на Земята е постоянна във всяка нейна точка. Когато едно тяло се движи в орбита около друго този закон е верен, независимо от разпределението на масата в централното тяло, но в този случай, където нямаме никакво орбитално движение нещата не са така. Достатъчно беше само да зададем плътността като някаква функция на разстоянието и нито движението щеше да е хармонично нито Кеплер щеше да е в сила.

nasko7
Мнения: 43
Регистриран: нед юни 17, 2012 20:42
Репутация: 0
Местоположение: Смолян

Re: Тунел през центъра на Земята

Мнение от nasko7 » пет юни 22, 2012 17:14

Докато камъкът се приближава към центъра на Земята, нивото на микрогравитацията (безтегловността) се увеличава и камъкът би трябвало да увеличи скоростта си. След това, когато стигне до обратната страна, влиянието на гравитацията ще го притегли отново към центъра, но с по-малка сила. Но когато премине в условие за безтегловност (около центъра на Земята), преминава законът за безтегловност в действие, а именно, че "Когато едно тяло се движи в условия на безтегловност, скоростта му расте до повлияние с друго тяло."
В смисъл, той ще увеличи скоростта си докато достигне до страната, от която е хвърлен. След това той отново бива повлиян от гравитацията и процесът започва отначало. И така непрекъснато.
"Липсата на доказателства не е непременно доказателство за липса"
==============================================
Атанас Стефанов, набор '01 ;)

Отговори
  • Подобни теми
    Отговори
    Преглеждания
    Последно мнение