Трудна задача

вместо бленувания теоретичен раздел

Модератори: mishaikin, bobo, Betelgeuse

Relinquishmentor
Мнения: 690
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 16

Трудна задача

Мнение от Relinquishmentor » пет юни 19, 2009 15:34

Електрон и протон се намират на разстояние r един от друг и са застопорени неподвижни. Намерете за колко време ще се сблъскат ако се освободят.

Използвайте този сайт, ако е необходимо.

lesy
Мнения: 32
Регистриран: чет авг 21, 2008 22:55
Репутация: 0
Местоположение: София

Мнение от lesy » пет юни 19, 2009 18:25

Те няма да се сблъскат :?:

momo_molnar
Мнения: 19
Регистриран: пон апр 21, 2008 17:22
Репутация: 0
Местоположение: Русе

re6enie

Мнение от momo_molnar » пет юни 19, 2009 23:02

ахаха, неутрона си мислех че е електронеутрален :x

Така, ако искаме да решим задачата по най-дърварския начин просто разглеждаме една координатна система вързана към електрона/протона, в която едната частица е неподвижна, а другата пада към нея с ускорение
2k(q^2)/((r^2)*m)
После записваме dS=V(t)*dt. Но ни трябва скоростта като функция на времето, а знаем ускорението като функция на разстоянието, така че може с малко играчка да представим V като функция на S да го преместим от ляво,интегрираме от r до 0 и воала - t-то :)

Моето решение е малко по астрономическо - вземаме закона на Кеплер, и в дясната част вместо G, слагаме k, и вместо маса на централното тяло слагаме едно
(q^2)/m.
И ето какво имаме
(r^3)/((t^2)*8)=(k*((q^2)/M))/4(pi^2)

Малко преобразувания и .........
t=sqrt((Pi^2)*(r^3)*m)/(2*k*(q^2))

Решението ми хрумна туко-що и реших, че е малко по стойностно от анализ 1 ;) Иначе с интеграла ще стане пак.

А иначе за спамърите, почетете малко - това не е задача която може да се реши на пръсти и не мисля че трябваше на задачата да и се отнема блясъка с това мнение за неутрона !

Потребителски аватар
stalker
Мнения: 810
Регистриран: пет окт 05, 2007 22:35
Репутация: 8
Контакти:

Re: re6enie

Мнение от stalker » съб юни 20, 2009 00:25

momo_molnar написа:Моето решение е малко по астрономическо - вземаме закона на Кеплер, и в дясната част вместо G, слагаме k, и вместо маса на централното тяло слагаме едно
(q^2)/m
А откъде накъде ще ги правим тези замествания? :-k
Все пак закона се отнася за гравитационни, а не електростатически взаимодействия. Докато силата, която оказва централното тяло върху планета е много по-голяма от силата която оказва планетата върху централното тяло, то протонът и електронът си взаемодействат с еднаква сила.

momo_molnar
Мнения: 19
Регистриран: пон апр 21, 2008 17:22
Репутация: 0
Местоположение: Русе

Мнение от momo_molnar » съб юни 20, 2009 00:52

Ами от закона на Нютон нали ускорението е a=(G*M*m)/(m*r^2). В случая с протона и братчед му, електрона то ускорението (от закона на Кулон) ще е а=k*q*q/m*r^2. Ако си извеждал закона на Кеплер за кръгови орбити,то ще видиш че ако замениш закона на Нютона с закона на Кулон ще излезе гореспоменатия резултат. До колкото знам, закона на Кеплер (третия) важи за всяка крива от втори ред(елипса) с произволно съотношение на масите ;)

П.С. Престанете с глупостите моля Ви, при гравитационната, ел. и всякакви такива сили, двете тела си взаимодействат с еднакви сили и различни ускорения ;) А, ако не ми вярваш за отношението на масите в закона на Кеплер, протона е мнооого по-тежък от електрона,така че спокойно си го прилагай закона (но той е приложим за всякакво съотношение - пример - двойните звезди ;)

Betelgeuse
Мнения: 1724
Регистриран: чет авг 11, 2005 22:26
Репутация: 13
Местоположение: остров Ванкувър
Контакти:

Мнение от Betelgeuse » съб юни 20, 2009 00:56

И аз като Момо (айде да видим сега дали знаеш какво значи "момо" на японски) на първо гледане го изкарах, че времето ще е пропорционално на разстоянието повдигнато на степен 3/2 или другояче казано 1.5 :)
Другото са разни константи, маси... (то и те са константи).
Обаче автора намеква че задачата е трудна, което ме навежда на мисълта че нещо грешим.
А пропо условието нищо не казва по въпроса - имаме ли свобода да решаваме само с класически средства - закона за движение, 2-рия закон на Нютон, закона на Кулон ? :wink:
Space is big. You just won't believe how vastly, hugely, mind-bogglingly big it is.

"...any scientist who couldn't explain to an eight-year old what he was doing is a charlatan."

momo_molnar
Мнения: 19
Регистриран: пон апр 21, 2008 17:22
Репутация: 0
Местоположение: Русе

Мнение от momo_molnar » съб юни 20, 2009 01:01

Цялото това решение е грешно :D

Е мързи ме сега да пиша тия интеграли, макар че си повярвах че може да се докаже нещо такова за ел. сили :)

Е, дано някой измисли нещо по разчупено :)

Потребителски аватар
stalker
Мнения: 810
Регистриран: пет окт 05, 2007 22:35
Репутация: 8
Контакти:

Мнение от stalker » съб юни 20, 2009 01:56

Да разгледаме случай, в който две тела с еднакви маси са отделени на известно разстояние едно от друго без да им действат никакви други сили освен гравитационната между тях. Телата няма да падат едно към друго, а ще се движат в кръгова орбита около общия си барицентър (то пак е падане ама мнооооого бавно). Те ще се сближат само ако на едното от тях му се предаде импулс към другото. Тогава може да се приложи третия закон на Кеплер и да се смята, че едното тяло се движи по безкрайно сплесната орбита около другото т.е. пада. Подобна ситуация имаме с електрона и протона, само че те няма да се въртят по никакви "орбити" а ще се движат един към друг праволинейно, защото електричната сила е по-мощна от гравитационната. Ускорението на електрона ще е по-голямо от това на протона, тъй като масата му е над хиляда пъти по-малка. С две думи нещата не са едни и същи и се съмнявам, че закона върши работа в този случай.

momo_molnar
Мнения: 19
Регистриран: пон апр 21, 2008 17:22
Репутация: 0
Местоположение: Русе

Мнение от momo_molnar » съб юни 20, 2009 11:54

stalker написа: Те ще се сближат само ако на едното от тях му се предаде импулс към другото. Тогава може да се приложи третия закон на Кеплер и да се смята, че едното тяло се движи по безкрайно сплесната орбита около другото т.е. пада.
Няма нужда от първоначален импулс - и на двете тела действа ускорение - ще започнат да падат едно към друго с променливо ускорение :)

Relinquishmentor
Мнения: 690
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 16

Мнение от Relinquishmentor » съб юни 20, 2009 16:51

Betelgeuse написа:А пропо условието нищо не казва по въпроса - имаме ли свобода да решаваме само с класически средства - закона за движение, 2-рия закон на Нютон, закона на Кулон ? :wink:
Използват се само класически средства - електрона и протона се разглеждат като точки с известна маса и товар и взаимодействието между тях се дължи единствено на кулоновото притегляне.

Потребителски аватар
Sineo4koto
Мнения: 59
Регистриран: пон авг 17, 2009 01:33
Репутация: 0
Местоположение: Несебър

Мнение от Sineo4koto » пон авг 17, 2009 22:07

Според мен това се решава с проста механика...
За ускоренията, които си прилагат двете частици получаваме от закона на Кулон: a1=q1*q2/4*pi*r^2*m1 , a2=q1*q2/4*pi*r^2*m2 ...За улеснение заместваме всички константи в двата израза с новите такива съответно k1 и k2 => a1=k1/r^2, a2=k2/r^2 ...След двойно интегриране и премахване на интеграционните константи от начални условия на покой за законите на движение получаваме съответно x1=(k1*t^2 )/(2*r^2) и x2=(k2*t^2)/(2*r^2).Ако изводите досега са верни и те наистина се сблъскват, то следва че x1+x2=r, или след някои прости преобразувания се получава за времето t=корен от (2*r^3/ k1+k2)...
Може и да съм объркал нещо, но не съм вложил много мисъл в този проблем :)

Betelgeuse
Мнения: 1724
Регистриран: чет авг 11, 2005 22:26
Репутация: 13
Местоположение: остров Ванкувър
Контакти:

Мнение от Betelgeuse » пон авг 17, 2009 22:43

Като гледам това е в съответствие и с моя отговoр че t е пропорционално на r^(3/2)
Space is big. You just won't believe how vastly, hugely, mind-bogglingly big it is.

"...any scientist who couldn't explain to an eight-year old what he was doing is a charlatan."

Потребителски аватар
Ganymede
Мнения: 44
Регистриран: нед ное 08, 2020 18:10
Репутация: 54
Местоположение: UK

Re: Трудна задача

Мнение от Ganymede » пет ное 13, 2020 20:57

Sineo4koto написа:
пон авг 17, 2009 22:07
Според мен това се решава с проста механика...
Да ви кажа, не съм съвсем убеден. Вижте моя начин на съждение. Уравненията на движение на протона и електрона са:

Изображение

Където r_p и r_e са позициите на протона и електрона, а ламбда идва от закон на Кулон:

Изображение

Разстоянието между протона и електрона е Изображение. Втората му производна е:

Изображение

Изображение

Така. С вас стигаме до едно и също дотук. Вие решавате да направите това:
Sineo4koto написа:
пон авг 17, 2009 22:07
...След двойно интегриране и премахване на интеграционните константи от начални условия на покой за законите на движение ...
Тук не мисля, че може да се интегрира просто така — има една и съща функция от двете страни. По-скоро, трябва да се реши диференциалното уравнение:

Изображение

или:

Изображение,

където за по-простичко сме означили:

Изображение

Решението на това уравнение въобще не е тривиално. Мисля, че тази форма може да бъде решена с разни трикове. Аз просто ще хвърля генералното решение, което ми дава Mathematica:

Изображение

За А и В — константи.

Relinquishmentor
Мнения: 690
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 16

Re: Трудна задача

Мнение от Relinquishmentor » пон ное 16, 2020 03:43

Пропуснал си един минус. Правилното уравнение е

r"r^2 = - η
Началните условия са r'(0)= 0, r(0) = d
Решението се намира лесно, има стандартен трик, отделяш втората производна от едната страна и умножаваш с 2r'.

Като се сметне всичко, за времето се получава

Изображение

т.е. Бетелгейзе е прав 🙂

Потребителски аватар
Ganymede
Мнения: 44
Регистриран: нед ное 08, 2020 18:10
Репутация: 54
Местоположение: UK

Re: Трудна задача

Мнение от Ganymede » чет ное 19, 2020 09:12

Relinquishmentor написа:
пон ное 16, 2020 03:43
Пропуснал си един минус. Правилното уравнение е
r"r^2 = - η
Съгласен за минуса, благодаря! В моя защита, не мисля, че задачата се променя фундаментално, нужно е само заместване Изображение
Relinquishmentor написа:
пон ное 16, 2020 03:43
Решението се намира лесно, има стандартен трик, отделяш втората производна от едната страна и умножаваш с 2r'.
Гледах го този 2r' трик в интернет, но процедурата не ми се изясни съвсем. Може ли първите няколко стъпки след трика?

Relinquishmentor
Мнения: 690
Регистриран: пон май 22, 2006 16:30
Репутация: 16

Re: Трудна задача

Мнение от Relinquishmentor » съб ное 21, 2020 09:30

Ganymede написа:
чет ное 19, 2020 09:12
Гледах го този 2r' трик в интернет, но процедурата не ми се изясни съвсем. Може ли първите няколко стъпки след трика?
Ok, нека вземем нашето уравнение

r"r^2 = -η

Отделяме r" от едната страна и умножаваме по 2r'

r"≡ (r')' = - η/r^2 ./2r'

2r'(r')' = - 2ηr'/r^2

За левия израз ползваме, че (f^2)' = 2ff', а за десния, че r'/r^2 = -(1/r)'

((r')^2)' = (2η/r)'

Имаме равенство на 2 производни, така че

(r')^2 = 2η/r + сonst.
Оттук нататък вече трябва да е ясно 🙂

Потребителски аватар
Ganymede
Мнения: 44
Регистриран: нед ное 08, 2020 18:10
Репутация: 54
Местоположение: UK

Re: Трудна задача

Мнение от Ganymede » съб ное 21, 2020 16:30

Благодаря, жив и здрав!

Отговори
  • Подобни теми
    Отговори
    Преглеждания
    Последно мнение